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第十一章 BSD猜想（第2页）

BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。

自上世纪五十年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。

例如，怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式（modularform）之间的关系（谷山-志村猜想）。

BSD猜想就是与椭圆曲线有关。

上世纪六十年代，英国剑桥大学的贝赫与斯维纳通-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解时发现，这种方程通常会有无穷多解。

然而要如何给出无穷多解呢？

其解法是先分类，典型的数学方法是同余并藉此得同余类，即被一个数除之后的余数。

但是无穷多个数不可能每个都是需要的，数学家们便选择了质数，所以从某种程度上说，这个问题还与黎曼猜想Zeta函数有关。

前半部分通常称为弱BSD猜想，后半部分则是BSD猜想分圆域的类数公式的推广。

最近半年内，他始终没有任何进展。

因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。

庞学林打开BSD猜想证明论文，看了起来。

BSD猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。

不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。

但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。

因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。

庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。

粗略浏览，有助于他从整体上了解BSD猜想的证明思路。

不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。

论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。

论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。

然后，推导出BSD对这样的E_D成立：D是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积，只要BbbQ（sqrt{-D}）的类群的4倍映射是单的。

这就有意思了。

虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明BSD猜想。

但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。

这篇论文的出现，说明当前流行的BSD猜想证明方法，最终都会走向死胡同。

通过同余数问题证明BSD猜想，才是正确的思路。

庞学林凝神屏气，继续看下去。

……

给定素数p，（1）pequiv3（mod8）：p不是同余数但2p是同余数；（2）pequiv5（mod8）：p是同余数；（3）pequiv7（mod8）：p和2p都是同余数。

假定弱BSD猜想成立，则（1）理论上我们能够判定D是否为同余数；（2）Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；（3）可以证明Dequiv5，6，7（mod8）时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。