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三形式化和非形式化系统和非系统（第1页）

三、形式化和非形式化、系统和非系统

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知性思维向辩证思维现代“复归”

的又一表现就是，它在逻辑上彻底解决了形式化问题。

哥德尔的不完全性定理埋葬了希尔伯特的形式主义理想，揭示出不完全性、非形式化在逻辑上的合理存在性。

所谓形式，就是事物的内在和外在的结构、有序性、量的比例性。

形式化就是试图从结构、有序性、量的比例来全面地表征事物的本质。

形式方法在古代就已经运用了。

欧几里得几何、形式逻辑都是形式方法的具体化。

随着非欧几何对欧氏几何的突破，形式方法的研究进入到一个新的层次。

希尔伯特在20世纪初提出了他的形式主义理论，认为以前的形式化只是从直观对象出发，然后归纳出公理，并在公理的基础上进行演绎，而现代的形式系统应该排除明显的直观性，应是一种“假设—演绎系统”

。

因此，问题倒过来了，重要的并不在于研究什么样的对象，而在于设定什么样的前提和关系，即设定“论域”

，不同的“论域”

就会展现出不同方面。

希尔伯特以这种前提和关系的形式处理了欧几里得几何，从而消除了欧氏几何的直观性。

希尔伯特提出五种关系，即“在……之上”

——联结关系，“介于……之间”

——次序关系，“合同于”

——合同关系，“平行于”

——平行关系，“连续”

——连续关系，并力图通过对这五种关系的推演，证明欧几里得几何学。

显然，希尔伯特的形式方法比欧氏几何公理方法更为普遍，并提出一个形式系统应该包含无矛盾性、完备性、公理的独立性。

希尔伯特的形式主义方法使数学的对象发生了变化，即在某种意义上，数学可以不以客观世界中的“量”

和“形”

为对象，对象可以是符号系列。

人们经过定义，赋予符号系列以各种“规定”

、“论域”

、“模式”

。

这些符号系列、形式系统虽然是抽象的，但它们都表征着事物结构。

希尔伯特的形式主义思想显然是深刻的，它是古代毕达哥拉斯学派的“数的和谐”

和中世纪“唯名论”

思想在现代的深化，但他的彻底形式主义的方法并没有得到实现，并受到哥德尔不完全性定理、车赤尔不可判断性定理的破坏。

不完全性是相对于完全性而言的。

完全性是指在一个完备的形式系统内，所有普遍有效的命题当且仅当是在这个系统中可以得到证明的。

如果在这一形式系统内存在着得不到证明的普遍有效的命题，那么，这一形式系统就是不完全、没有完成的。