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三（第1页）

（三）

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第一就说数学归纳法的证明。

什么叫数学归纳法，在“堆罗汉”

中已经说过，这里要证明的第一个公式，也是那篇里已证明过的。

为了不曾看过那篇的人，只好简略地说一说。

所谓数学归纳法，一共含有三个步骤：

（Ⅰ）就几个特殊的数，发现一个共同的式子。

（Ⅱ）假定这式子对于n是对的，而造出一个公式来。

（Ⅲ）设n变成了n+1，看这式子的形式是否改变。

若不曾改变，那么，这式子就成立了。

因为由（Ⅱ）和（Ⅲ）既知道这式子关于n是对的，关于n+1也就是对的。

而由（Ⅰ）已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了，不过（Ⅰ）只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的，那么关于2加1也是对的。

2加1是3，关于3是对的，自然关于3加1也是对的。

这样一步一步地往上推，关于4加1，5加1，6加1……就无往而不对了。

以下就用这方法来证明上面的公式：

王老头子的汤团的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。

而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。

所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的一盘汤团便是：

Sn=12+22+32+42+…+n2

第一步我们容易知道：

第二步，我们就假定这种式子，关于n是对的，而得公式：

这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以