格格党

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四（第2页）

（1）Sn=∑n2=12+22+32+42+…+n2

（2）

（3）Sn=∑n［p+（n-1）］=∑（np+n2-n）=∑np+∑n2-∑n

=（p+2p+3p+…+np）+（12+22+32+…n2）-（1+2+3+…+n）

（4）Sn=∑［a+（n-1）］［b+（n-1）］=∑［ab+（a+b）（n-1）+（n-1）2］

=nab+（a+b）［1+2+…+（n-1）］+［12+22+32+…+（n-1）2］

这样一来，我们可以看得很明白，只要将（1）求出，以下的三个就容易了，（1）的求法运用数学归纳法固然可以，即或不然，也还可照下法计算。

我们知道：

n3=n3，（n-1）3=n3-3n2+3n-1

∴n3-（n-1）3=3n2-3n+1

同样地，

（n-1）3-（n-2）3=3（n-1）2-3（n-1）+1

（n-2）3-（n-3）3=3（n-2）2-3（n-2）+1

…………

33-23=3×32-3×3+1

23-13=3×22-3×2+1

13-03=3×12-3×1+1

若将这n个式子左边和左边加拢，右边和右边加拢，便得

n3=3（12+22+32+…+n2）-3（1+2+3+…+n）+（1+1+…+1）

但12+22+32+…+n2=Sn

这个结果和前面证过的一样，但来路却比较地分明。

利用它，（2）（3）（4）便容易得出来。

（2）

（3）

（4）