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六导数的几何表示法（第2页）

这个方法是比较简便的，但并不是独家经理的唯一无二[7]的方法。

这里用到的是两个数，一个垂直距离和一个水平距离。

但另外选两个适当的数，也可以把平面上一点的位置确定，不过别的方法都没这般平易罢了。

你在平面几何上曾经读过一条定理，说不平行的两条直线若不是全相重合就只能有一个交点，你总还记得吧！

就因这个缘故，所以我们用一条垂直线和一条水平线，所能决定的点只有一个。

依了同样的方法，用距O点不同的垂直线和水平线便可决定许多位置不同的点。

你不相信吗？就用你的三角板和铅笔，胡乱画几条垂直线和水平线来看一看。

再请你回忆起平面几何上的一条定理来，那就是通过两个定点必能够画一条直线，而且也只能够画一条。

所以，倘若你先在纸上画一条直线，只任意留下了两点，便将全线擦去，你若要再找出原来的那条直线，只需用你的尺子和铅笔将所留的两点连起来那就成了。

你试试看，前后两条直线的位置有什么不同的地方没有？

前面说的只是点的位置，现在，我们更进一步来研究任意一段曲线，或是BC弧，我们也能够将它表示出来吗？

为了方便起见我和你先约束好：在水平线上从O起量出的距离我们用x代表，在垂直线上从O起量出的距离用y代表。

这么一来，设若那段曲线上有一点P，从P向着OH和OV各画一条垂线，那么，无论P点在曲线上的什么地方，x和y都一定各有一个相应于这P点的位置的值。

在BC一段曲线上，设想有一点P，从P向OH画一条垂线Pa，设若它和OH相交在a点；又从P向OV也画一条垂线Pb，设若它和OV相交在b点，Oa和Ob便是x和y相应于P点的值。

你试在BC上另外取一点Q，依照这方法做起来，就可以看出x和y的值便不能同是Oa和Ob了。

接连在曲线BC上面，取一串的点，比如说是P1、P2、P3……从各点向OH和OV都画垂线，这就得出相应于P1、P2、P3……这些点的位置的x和y的值，x1、x2、x3……和y1、y2、y3……来。

x的一串值x1、x2、x3……各都和y的一串值y1、y2、y3……中的一个相应。

这些是你从图上一眼就会看得明白的。

倘若已将x和y的各自的一串值都画出，曲线BC的位置大体也就决定了。

所以，实际上你若把P1、P2、P3……这一串点留着，而将曲线BC擦去，和前面画直线的一般，你就有方法能够再找出它来。

因为x的每一个值，都相应于y的一串值中的一个，所以要决定曲线上的一点，我们就在OH上从O起取一段等于x的值，又在OV上从O起取一段等于相应于它的y的值。

那么，这一点，就和前面的例子所说过的一般，便可完全决定。

跟着，用同样的方法，将x的一串值和y的一串值都画出来，P1、P2、P3……这一串的点也就全然决定，曲线BC同样地也可将它决定了。

不过，这却要小心，前面我们说过，有了两点就可决定一条直线。

在平面几何学上你还学过一条定理，有不在一条直线上的三点就可以决定一个圆周。

但是一般的曲线，要有多少点才能将它决定，那是谁也回答不上来的，不是吗？曲线是弯来弯去的，没有画出来的时候哪个能完全明白它是怎样的弯法呢！

所以，在实用上，真要由许多点来决定一条曲线，必须要画出很多的互相挨得很近的点，那条曲线才可以大体决定。

并且这还须注意，无论怎样，倘然没有别的方法加以证明，你这样画出的总只是一条相近的曲线。

话说回头去，我们记好，以前所讲过的数学的函数的定义，把它来和这里所说的表示x和y的一串值的方法对照一番，这是有趣极了！

我们既说，每一个x的值，都相应于y的一串值中的一个。

那好，我们不是也就可以干干脆脆地说y是x的函数吗？要是掉过枪法，我们也就可以说x是y的函数。

从这一点看起来，函数有些是可以用几何的方法表示的。

比如：y是x的函数，用几何的方法来表示就是这样：有一条曲线BC，又决定了x的大小，设若x等于Oa，我们实际上就可决定相当于它的y的值是Ob。

所以从解析数学这边看来，一个数学的函数是代表一条曲线的。

但掉过头从几何那边看来，一条曲线就表示一个数学的函数。

两边简直是合则双美的玩意儿。

要反过来说，也是非常容易的。

假如有一个数学的函数：