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六导数的几何表示法（第4页）

那么它们俩的比便是：

你总已经看出来了，这一次你的竹竿对于地面的倾斜度比前一次的来得陡些。

总括起来，简单地说，要决定斜率，只需知道“高”

和“远”

的比。

快可以归到一个结论了，让我们先把所要用来解答这个切线问题的材料集拢起来吧。

第一，作一条水平线OH和一条垂直线OV；第二，画出我们的曲线；第三，过定点P和另外一点P'画一条直线将曲线切断，就是说过P和P'画一条割线。

先不要忘了我们的曲线C是用一个下面的已知函数表示的：

y=f（x）

相应于P点的x和y的值就算是x和y，相应于P'点的x和y的值设它们是x'和y'。

从P画一条水平线和从P'所画的垂直线相遇在B点。

我们先来决定割线PP'对于水平线PB的斜率。

这个斜率，和我们刚才说过的一般，是用“高”

P'B和“远”

PB的比来表示的，所以我们得出下面的式子：

到了这一步我们很明白地知道，我们所要解决的问题是：

“用来表示斜率的比，它能不能由曲线的函数的帮助来计算呢？”

跟着，来计算P点的切线的斜率，只要在曲线上使P'和P接近起来就成了。

要解决的问题总算解决了。

归结起来，用一般的话说，这解答的步骤是这样。

知道了一条曲线和表示它的一个函数，那曲线上的任一点的切线的倾斜度，我们就可以计算。

所以，通过曲线上的一点，引一条直线，若是它的斜率和我们已经算出来的一样，那么，这条直线就是我们所要找的切线了！

对于切线的问题。

我们算是有了一个一般的解答了。

但是，我问你，一直说到现在，我们所解决的都是些特别的例子，它能不能就用到一般的已定曲线上去呢？

还不能呢，还得要用数学的方法，再进一步找出它的一般的原理才行的。

不过要达到这地步，也不是很困难的事。

我们仔细再从我们所用的方法当中去探究一番，那就可以得到一个合意的回答了。

我们所用的方法，它含有什么性质呢？

假如我们记清楚从前所说过的什么连续函数咧，它的什么变化咧，这些变化的什么平均值咧，这一类的东西，将它们来比照一下，对于我们所用的方法，一定更加明了了。

一条曲线和一个函数，本可以看成是一般无二的东西，因为一个函数可以表示出它的性质，而它也可以把这个函数用图形表示。

所以，一样的情形，一条曲线也就表示一个点的运动的情况。

为了要知道清楚运动的性质，我们曾经研究过用来表示这运动的函数有怎样的变化。

研究的结果，将导数的意义也弄明白了。

我们知道它在一般的形式下面，也是一个函数，函数一般的性质和变化它都含得有。

认为函数是表示一种运动的时候，它的导数，就是表示每一刹那间，这运动所有的速度。

丢开了运动不讲，在一般的情形当中，一个函数的导数，它含得有什么意义没有呢？

我们再简单地来看一看，导数是怎样被我们诱导出来的。