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九偏导数和全部的变化（第1页）

九、偏导数和全部的变化

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朋友，火柴盒子，你总很面熟的了。

它是长方形的，有长，有宽，又有高，这你都知道的，不是吗？对于这种有长有宽又有高的东西，我们要计较它的大小，就得算出它的体积，算这种火柴盒子的体积的方法，算术里已经讲过，是把它的长、宽、高来相乘。

因此，这三个数中若有一个变了一点，它的体积也跟着要变的，所以我们可以说火柴盒子的体积是这三个量的函数：设若它的长是a，宽是b，高是c，体积是v，我们就可得出下面的式子：

v=abc

假如你有的火柴盒子是燮昌公司的，我有的却是丹凤公司的，你一定要和我争，说是你那一个的体积比我这一个的大。

朋友！

空口说白话，绝不能叫我心服，我得向你要证明，你有法子吗？你只好将它们的长、宽、高都比一比，找出燮昌的盒子有一边，或两边，甚而至于三边，都比丹凤的盒子要长些，你真能这样，我自然只好哑口无言了。

我们借这个小问题做引子，来看看火柴盒子这类东西的体积的变化是怎样一个情景，先得想象它的长a、宽b和高c都是可以随我们的意思叫它们伸缩的。

再得想象，它们的变化是连续的，好像你用打气筒套在足球的橡皮胆上打气的一般。

火柴盒的三边既然是连续地变，它的体积自然也得跟着连续地变，而恰好是三个变数a、b、c的连续函数。

到了这里，我们就有了一个问题：

“当这三个变数同时连续地变的时候，它们的函数v的无限小的变化，我们怎样去测呢？”

以前，为了要计算无限小的变化，我们请出了一件宝货——导数来，不过那时的函数是只依赖着一个变数的；现在，我们就来看，这件宝货碰到了几个变数的函数，它还灵不灵。

第一步我们先注意到，我们能够将下面的一个体积，

v1=a1b1c1

由以下将要说到的顶简便的方法变成这么一个新体积：

v2=a2b2c2

开始，我们将这体积的宽b1和高c1保持住老样子，不让它改变，只使长a1加大一点变成a2。

接着，再保住a2和c1，只让宽b1变到b2。

末了，将a2和b2保住，只将c1变到c2。

这种方法，我们是用三次手续使体积v1变到v2的，在每一次我们都只让一个变数改变。

只依赖着一个变数的函数，它的变化，我们以前是用这个函数的导数来表示。

第一个表示只将a当变数，第二个和第三个相应地表示只将b或c当变数。

你将前面说过的关于微分的式子记起来吧！

dy=y'dx

同样地，若要找v的变化dv，那就得将它三边的变化加起来，所以：

dv这个东西，在数学上给它一个名字叫“全微分”

。

由上面的例子，推到一般的情形去，我们就可以说：

“几个变数的函数，它的全部变化，可以用它的全微分表示。

这全微分呢，便等于这函数对于各变数的偏微分的和。”

所以要求出一个函数的全微分，必须分次求出它对于每一个变数的偏导数。