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十一面积的计算（第2页）

pP、p1P'就相应地表示函数在x和x'那两点的值y和y'。

结果，无论P和P'点在AP上什么地方，我们都可以将y和y'找出来，所以y是x的函数，可以写成：

y=f（x）

这个函数就是BC曲线所表示的。

现在，再来求面积S的值吧！

将前面的四个矩形，再分成数目更多的较小的一些矩形。

由图上就可看明白，那些从曲线上画出的和AD平行的短线都比较地挨近曲线；而斜纹所表示的部分也比上面的减小了。

因此，用这些新的矩形的面积的和来表示所求的面积：

S=1+2+3+…+12

比前面所得的误差就小得多。

再把AD分成更小的线段，比如是Ax1、Ax2、Ax3……由各点到曲线BC的距离设为y1、y2、y3……这些矩形的面积就是y1×x1、y2×（x2-x1）、y3×（x3-x2）……而总共的面积就等于这些小面积的和，所以：

S（近似值）=y1×x1+y2×（x2-x1）+y3×（x3-x2）+……

若要想得出一个精确的结果呢，只需继续着再把AD分得段数一次比一次的多，每段的间隔一次比一次的短，每次都将各个小矩形的面积的和来表所求的面积。

那么，S和这所得的近似值，它们的差，便越来越小了。

这样做下去，到了极限，就是说，小矩形的数目是无限地多，而它们每一个的面积，便是无限地小，这一群小矩形的和便是真实的面积S。

但是，所谓数目无限的，一些无限小的量的和，它的极限，照前节所讲过的，这就是积分。

所以我们刚才所讲的例子，实在就是积分法的几何上的运用。

所求的面积S，就是x的函数y对x的积分。

换句话说，求一条曲线所切成的面积，必须计算那些连续的近似值，一直到极限，这就是所谓积分。

到这里，为了要说明白积分法的原理，我们已举了两个例子：第一个，是说明积分法就是微分法的还原；第二个，是表示出积分法在几何学上的意味。

将这些范围和形式都不相同的问题的解决法，贯通起来，就可以明了积分法的意义，而且还可以扩张它的使用的范围。

不是吗？我们讲导数的时候，也是一步一步地逐渐将它的意义弄明白，同时也就扩张了它的活动的领域；积分法既是它的还原法，自然也可以照样来一下的了。

比如说，前面我们只是用它来计算面积，但如果我们要用它来计算体积，在原理上，也就全是一样。

因为立方柱的体积我们早就知道它是等于它的长、宽、高相乘的积，假如我们所要求它的体积的那个东西，有一面是曲面，我们就可以先把它分成几部分，照求立方柱的体积的方法，将它们的体积计算出来，然后将这几个积加在一起，这就是第一次的近似值了。

和前面一样地，我们可以再将各部分分小下去，求第二次、第三次……的近似值。

这些近似值，因为越分项数越多，每项的值越小，所以近似的程度就渐次地加高，到了最后，项数增到无限多，每项的值变成了无限小，这些的和的极限，就是我们所求的体积，这种方法就是积分。