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第21讲 在正态分布中使用概率分布图进行高级推理（第4页）

后验分布将基本事件“θ＆40”

调整为满足标准化条件的比例关系，那么可以得到“在获得40℃这一信息之后，各θ的后验概率”

。

该后验分布即为，关于θ的正态分布。

而该正态分布的平均值（分布的期待值），可以通过以下计算得出。

上述计算过程的具体含义，将在下下节中进行解说。

21-4后验分布的含义

在说明计算方法之前，首先解释一下贝叶斯更新的概念：我们认为，洗澡用的热水水温，遵循事前为平均值42℃、标准偏差为3的正态分布。

因此，若用1个数值来代表的话，则估计期待值（＝平均值）为42℃。

但是，由于用不准确的温度计测量出的水温为40℃，那么根据这条信息，就可以得出关于θ的后验分布，表示为图表21-1右侧的正态分布。

这一概率分布的期待值在顶点位置（挑担人偶的支点），也就是正态分布的平均值，为40.6℃。

以上为获得信息之后，对于水温的推理值。

上述贝叶斯推理过程，可以通过图表21-2来理解。

图表21-2通过温度计的测量结果，对信息进行修改

换言之，虽然最初的观点（预想）为42℃，但之后，以通过温度计得到的测量结果40℃为参考，进行了修改。

虽然修改后的值，比起最初的42℃更接近40℃，但绝非40℃。

之所以会出现这样的结果，是因为温度计的测量存在误差偏差（标准偏差），所以这一部分的结果是不可信的。

因此，我们并没有修改测量值为40℃，而是保留了40.6℃的结果。

这一结果，比起42℃和40℃的中间值41℃，更接近40℃，那么为何要修改为这一数值呢？原因在于，表示先验分布的误差偏差的标准偏差为3，但温度计显示的测量的误差偏差的标准偏差为2，后者的误差相对较小。

这意味着，根据误差偏差相对较小的温度计得出的结果，对于先验分布的推算影响较大，想来这也是自然的。

21-5根据正态分布进行贝叶斯推理的公式

接下来，对于上上节中进行的、将正态分布作为共轭先验分布而进行的推理计算进行说明。

根据正态分布进行贝叶斯推理的公式

将需要推理的θ的先验分布设定为平均值μ0、标准偏差σ0的正态分布；将观察的信息x设为遵循平均θ、标准偏差σ的正态分布。

至于μ0、σ0、σ，则设为具体已知的数值。

换言之，设定关于信息x的附带条件概率密度p（x|θ）为平均值θ、标准偏差σ的正态分布。

（ⅰ）只观察1次信息时的公式：

把观测到的值设为x，则：

（观测到x之后，θ的后验分布）p（θ|x）为关于θ的正态分布。

（ⅱ）观察n次信息时的公式：

若把观测到的n个数值的平均值（为（观察值的合计）÷n）记为x，

以下，用略显烦琐的文字来进行解说：

首先，标准偏差的2次方是被称为“方差”

的量。

方差，也是标准统计学中重要的统计量之一。

在正态分布中，后验分布的平均值按照以下方法进行计算：

观测值只有1个的情况下，按照以下公式计算：