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一、数学是什么
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这里所要说明的“数学”
这一个词,包含着算术、代数、几何、三角等。
用英文名词来说,那就是Mathematics。
它的定义,照平常的想法,非常简单、明了,几乎用不到再说明。
若真要说明,问题却有很多。
且先举罗素(Russell),他在所著的《数理哲学》中提出的定义,真是叫人莫名其妙,好像在开玩笑一样。
他说:“Mathematicsisthesubjewhieverknoearetalkingaboutwearesayingistrue.”
将这句话粗疏地翻译出来,就是:“数学是这样一回事,研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”
这样的定义,它的惝恍迷离,它的神奇莫测,真是“不说还明白,一说反糊涂”
。
然而,要将已经发展到现在的数学的领域统括得完全,要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃,好像除了这样也没有别的更好的话可说了。
所以伯比里慈(Papperitz)、伊特耳生(Itelson)和路易·古度拉特(LouisCouturat)几位先生对于数学所下的定义也和这个气味相同。
对于一般的数学读者,这定义,恐怕反而使大家坠入五里雾中,因此拨云雾见青天的工作似乎少不了。
罗素所下的定义,它的价值在什么地方呢?它所指示的是什么呢?要回答这些问题,还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。
在希腊,亚里士多德(Aristotle)那个时代,不用说,数学的发展还很幼稚,领域也极狭小,所以只需说数学的定义是一种“计量的科学”
,便可使人心满意足了。
可不是吗?这个定义,初学数学的人是极容易明白、满足的。
他们解四则问题,学复名数的计算,再进到比例、利息,无一件不是在计算量。
就是学到代数、几何、三角,也还不容易发现这个定义的破绽。
然而仔细一想,它实在有些不妥帖。
第一,什么叫作量,虽然我们可以用一般的知识来解释,但真要将它的内涵弄明白,也不容易。
因此用它来解释别的名词,依然不能将那名词的概念明了地表示出来。
第二,就是用一般的知识来解释量,所谓计量的科学这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。
像测量、统计这些学科,虽然它们各有特殊的目的,但也只是一种计量。
由此可知,仅仅用“计量的科学”
这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义,未免广泛了一点儿。
若进一步去探究,这个定义的欠缺还不止这两点,所以孔德(te)就加以修改而说:“数学是间接测量的科学。”
照前面的定义,数学是计量的科学,那么必定要有量才有可计算的,但它所计的量是用什么手段得来的呢?用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长,用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重,这自然是可以直接办到的。
但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积,或是很小的分子的体积,这些就不是人力所能直接测定的,然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。
因此,孔德所下的这个定义,虽然不能将前一个定义的缺点完全补正,但总是较进一步了。
孔德究竟是十九世纪前半期的人物,虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家,但在他的时代,数学的领域远不及现在广阔,如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等,这些数学的支流的发展,都是他以后的事。
而这些支流和量或测量实在没什么关系。
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