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四无限小的变数诱导函数（第1页）

四、无限小的变数——诱导函数

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现在还是来说关于运动的现象。

有一条大路或是一条小槽，在那条路上有一个轮子正转动着，或是在这小槽里有一个小球正在滚动着。

倘若我们想找出它们运动的法则，并且要计算出它们在进行中的速度，比前面的还要精密的方法，究竟有没有呢？

将就以前说过的例子，本来也可以再讨论下去，不过为着简便起见，我们无妨将那个例子的特殊情形归纳为一般的情况。

用一条线表示路径，用一些点来表示在这路上运动的东西。

这么一来，我们所要研究的问题，就变成一个点在一条线上的运动的法则和这个点在进行中的速度了。

索性更简单些，就用一条直线来表示路径：这条直线从O点起，无限地向着箭头所指示的方向延伸出去。

在这条直线上，依着同一方向，有一点P连续地运动，它运动的起点也就是O。

对于这个不停运动的P点，我们能够求出它在那直线上的位置吗？是的，只要我们知道在每个时间t，这个运动着的P点间隔O点多远，那么，它的位置也就能确定了。

和之前的例子一样，连续运动在空间的径路是时间的一个连续函数。

先假定这个函数是已经知道了的，不过这并不能解决我们所要讨论的问题。

我们还不知道在这运动当中，P点的速度究竟是怎样，也不知道这速度有什么变化。

经过我这么一提醒，你将要失望了，将要皱眉头了，是不是？

且慢，不用着急，我们请出一件法宝来，这些问题就迎刃而解了！

这是一件什么法宝呢？以后你就知道了，先只说它的名字叫作“诱导函数法”

。

它真是一件法宝，它便是数学园地当中，挂有“微分法”

这个匾额的那座亭台的基石。

“运动”

本来不过是从时间和空间的关系的变化出来的。

不是吗？你倘若老是把眼睛闭着，尽管你心里只是不耐烦，觉得时间真难熬，有度日如年之感，但是一只花蝴蝶在你的面前蹁跹地飞着，上下左右地回旋，你哪儿会知道它在这么有兴致地动呢？原来，你闭了眼睛，你面前的空间有怎样的变化，你真是茫然了。

同样地，倘使尽管空间有变化，但你根本就没有时间感觉，你也没有办法理解“运动”

是怎么一回事！

倘若对于测得的时间t的每一个数，或者说得更好一些，对于时间t的每一个数值，我们都能够计算出距离d的数值来，这就是某种情形当中的时间和空间的关系的变化已经被我们知晓了。

那运动的法则，我们自然而然也就知道了！

我们就说：距离是时间的已知函数，简便一些，我们说d是t的已知函数，或者写成d=f（t）。

对于你的小弟弟在大门外地上爬的例子，这公式就变成了d=5t。

另外随便举个例子，比如d=3t+5，这时就有了两个不同的运动法则。

假如时间用分钟计算，距离用米计算。

在第一个式子中，若时间t是10分钟，那么距离d就得50米。

但在第二个式子中，d=3t+5所表示的是运动的法则，10分钟的结尾，那距离却是d=3×10+5，便是距出发点35米。