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十面积的计算（第1页）

十、面积的计算

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将前节讲过的方法拿来运用，再没有比求矩形的面积更简单的例子了。

比如有一个矩形，它的长是a，宽是b，它的面积便是a和b的乘积，这在算术上就讲过。

像下图所表示的，长是6，宽是3，面积就恰好是3×6=18个方块。

假如这矩形有一边不是直线——那自然就不能再叫它矩形——要求它的面积，也就不能按照求矩形的面积的方法这般简单。

那么，我们有什么办法呢？

假使我们所要求的是下图中ABCD线所包围着的面积，我们知道AB，AD和DC的长，并且又知道表示BC曲线的函数（这样，我们就可以知道BC曲线上各点到AB线的距离），我们用什么方法，可以求出ABCD的面积呢？

一眼看去，这问题好像非常困难，因为BC线非常不规则，真是有点儿不容易对付。

但是，你不必着急，只要应用我们前面已说过好几次的方法，就可以迎刃而解了。

一开始，无妨先找它的近似值，再连续地使这近似值渐渐地增加它的近似的程度，直到我们得到精确的值为止。

这个方法，的确非常自然。

前面我们已讨论过无限小的量的计算法，又说过将一条线分了又分、一直到分到无穷的方法，这些方法就可以供我们来解决一些较复杂、较困难的问题。

先从粗疏的一步入手，循序渐进，便可达到精确的一步。

第一步，简直一点儿困难都没有，因为我们所要的只是一个大概的数目。

先把ABCD分成一些矩形，这些矩形的面积，我们自然已经会算了。

假如S的面积差不多等于1、2、3、4四个矩形的和，我们就先来算这四个矩形的面积，用它们各自的长去乘它们各自的宽。

这样一来，我们第一步所可得到的近似值，便是这样：不用说，从上图一看就可知道，这样得出来的结果相差很远，S的面积比这四个矩形的面积的和大得多。

图中用了斜线画着的那四块，全都没有算在里面。

但是，这个误差，我们并不是没有一点儿办法补救的。

先记好表示BC曲线的函数是已经知道的，我们可以求出BC上面各点到直线AD的距离。

反过来就是对于直线AD上的每一点，可以找出它们和BC曲线的距离。

假如我们把AD看作和以前各图中的水平线OH一样，AB就恰好相当于垂直线OV。

在AD线上的点的值，我们就可说它是x，相应于这些点到BC的距离便是y，所以AD上的一点P到BC的距离就是一个变数。

现在我们说AP的距离是x，AD上面另外有一点P′，AP′的距离是x′，过P和P′都画一条垂直线同BC相交在p和p1。