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02 概率的运作 The Workings of Probability（第1页）

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除了主观的、客观的和频率的理解方法，还有其他理解概率的视角。

例如，一定要坚持将一个概率对应于某一个数字吗？我们是否可以说一个概率更大，或者一件事情的可信度比另外一件事情更高？我们真的必须提出一组公理——不言而喻的事实——并据此建立一套理论？

许多杰出的作者都认为建立两个独立的理解概率的方法是有用的，一个是可信度，另一个是古典概率。

两者应该具有相同的逻辑规律，不自相矛盾，但两者对于概率是如何生成的和被理解的可以不同。

任何理论都应该与古典观点一致，基于可重复实验都会给出等可能的结果，所以我们将着眼于这些案例，寻找概率必须遵循的规则。

加法定理

从洗好的牌堆里面取一张牌。

我们认为抽到所有牌都是等可能的，所以求出任何事件的概率——例如抽到梅花、黑桃或者A——就是计算这些事件占总事件的比例。

我们如何求出两个事件之中的每一个发生的概率呢？

如果两个事件的所有可能结果中没有任何相同，我们称这两个事件是相互排斥（mutuallyexclusive）或者不相容（disjoint）的。

“抽到黑桃”

和“抽到梅花”

这两个事件是不相容的，但是“抽到黑桃”

和“抽到A”

这两个事件不是，因为“抽到黑桃A”

同时属于这两个事件。

当两个事件互斥，这两个事件中任何一个发生的结果总数就是其分别发生的结果数之和，所以我们有一个简单的结论：

当两个事件互斥时，至少一个事件发生的概率是两个事件各自发生概率的和。

这就是概率的加法定理（theAdditionalLaw）。

它显然适用于所有我们能够以古典视角观察的试验：用袋子中的球作类比，这个定理可以被理解为抽中红或蓝球的结果总数是红球的总数和蓝球的总数之和。

而且在任何可重复试验中——例如掷色子或者旋转轮盘赌轮——两个不相交事件的频率和一定是至少一个事件发生的频率。

所以加法定理从频率角度看也成立。

一个持主观视角的人也能接受这个定理。

否则，存在两个互斥事件，称为A和B，加法定理对它们不成立。

这种情况下，主观主义者会面临三个赌局：一个赌事件A发生，一个赌事件B发生，一个赌事件A和B至少一个发生。

而对他来说每个赌局都是公平的，他会接受，但他如果参与全部三个赌局，则必定会输钱。

加法定理就禁止了这样的矛盾。

加法定理可以拓展到包含大量事件的集合中，前提是这些事件中任意两个都没有相同的结果——它们是两两不相交的（pairwisedisjoint）。

即使一个事件包含了1000000种不同的结果，其发生的概率也仅仅是每种结果单独的概率的和。

但是假设结果的个数不再有限，例如连续掷一枚硬币直到正面出现时掷硬币的次数。

这个试验可能的结果组成一个无限长的表{1，2，3，4，…}，表中的每一个数值都对应着其非零的概率。

正面出现时掷硬币次数为偶数的概率是多少？在{2，4，6，8，…}中的结果会让这个事件发生。