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02 概率的运作 The Workings of Probability（第3页）

独立性

我们用“独立的”

这个术语来描述一种情况：第一个事件的发生并不影响我们对第二个事件概率的评估。

假设这是成立的。

但假如我们知道了第二个事件已经发生，这可能影响我们对第一个事件概率的评估吗？

不会。

一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，第二个事件是否发生也并不会影响第一个事件的概率。

当两个事件中任何一个发生与否均不会对另一个事件的概率产生影响时，这两个事件是独立的。

要计算两个事件同时发生的概率，就将它们各自的概率相乘。

彼此不相互影响的事无疑是独立事件，例如突尼斯今天下雨和巴黎新生儿的性别。

但有时独立性并不明显。

使用一个公正的普通色子，考虑事件“得到偶数”

和“得到3的倍数”

，它们的概率分别是12和13。

只有得到6的时候两个事件同时发生，概率是16。

因为12和13相乘等于16，这两个事件是独立的。

得到偶数的概率并不会在我们得知是否得到3的倍数之后改变（反之亦然）。

现在，当你有一个8面色子或者10面色子的时候，考虑相同的问题，色子的每个面都分别被标记了1~8或者1~10。

再进行相应的算术过程：你会发现在其中一种情况下两个事件是独立的，但是在另一种情况下不是。

判断独立性时，直觉是有用的，但是并不总是足够的。

在两个因素并不独立的时候假设它们是独立的，是评估概率过程中最常犯的错误。

假设在一所大学的研究生院中一半的学生是女生，并且15的学生学习工程学科。

随机选择一个学生：这个学生是女生的概率会被认为是12，这个学生学习工程的概率会被认为是15。

然而你会发现这个学生是个女工程师的概率远远小于这两个值的乘积——110。

具有重叠的事件

加法定理说明了如何计算两个事件中至少一个发生的概率，只要这些事件是互斥的。

如果二者不互斥会怎么样？例如，随机抽取一张卡片，是黑桃或者A的概率是多少？黑桃A同时属于这两个分类，所以如果我们只是将各自的概率相加，我们就会将黑桃A计算两次。

为了计算两个事件中至少一个发生的概率，并纠正可能会被重复计算的结果，就将各自的概率相加，然后减去两个同时发生的概率。

如果两个事件是互斥的，就不可能同时发生，所以这个额外项的值为0，我们就回到了原先的加法定理。

让我们来看看在先前两个例子中这种观点的实际应用。

在猜硬币和红牌黑牌的问题中，我们至少猜对一个的概率来自计算过程12+12-14，等于34。

在另一个例子中，随机地抽取有标号的球，是较小数字或者绿色的概率是12+12-0.4=0.6。

抽到黑桃或者A的概率就是1352+452-152=1652，这可以被证明，因为52张牌中刚好有16张满足条件。

最后一个计算过程会警示你不要提前进行算术简化。

的确1352与14相等，452与113相等，但是要将14和113相加，你最好用原始的分数。

将一个像513这样的美观的分数写成它的丑陋的近似小数（0.38461538……）几乎没有好处。