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02 概率的运作 The Workings of Probability（第5页）

同时“抽到一张黑桃”

和“抽到一张A”

是相互独立的（是吗？），但显然不是互斥的。

记住：加法定理用来计算至少一个事件发生的概率，乘法定理用来推导它们全部发生的概率。

有时人们说：计数真的只有1、2、无穷大。

这个说法揭示了一条真理，如果我们可以完成从处理一件事到处理两件事的过渡，那随后到第3、4、5等的过渡相比而言就不那么重要了。

这个道理当然是对加法定理和乘法定理都成立的。

一个巧妙的把戏

任何事件要么会发生，要么不会发生。

总概率被分成了事件发生和不发生两部分。

所以如果我们能够找到事件不发生的概率，把这个概率从100%中减掉，就能够推断出它发生的概率。

举例来说，我们要计算掷两次公正的色子时，至少得到一个6的概率。

任何结果都写成表示第1次和第2次的投掷结果的一对数字，例如（5，2）或（4，4），并且我们认为所有这样的结果都是等可能的。

每次投掷都会有6个可能的结果，以至于总共有6×6=36种结果。

我们的事件在没有色子是6的时候不发生，一共5×5=25种情况。

没有6的概率是2536，所以至少一个6的概率是1136，比13略小一点。

这就引出了1654年布莱瑟·帕斯卡（BlaisePascal）和皮埃尔·德·费马（PierredeFermat）解决的一个点数问题的初级版本。

我们必须掷多少次色子才能使我们至少掷出一次6是更有可能的，即掷出一个6的概率比12大？我们刚刚看到，掷两次是不够的。

每一次额外的投掷都会让可能的结果数增加6倍，同时未掷出6的结果数乘以5。

所以3次投掷一共有216种结果，而且其中125种（超过一半）没有包含6，3次投掷也是不够的。

然而4次投掷得到1296种结果，并且其中只有625种是未掷出6的，少于一半。

这就使得包括6的结果多于不包括6的结果，所以这时包含6更有可能。

4次投掷就足够了。

实际上帕斯卡和费马分析的游戏中不只包含了掷一个色子，还包含了同时掷两个色子的情况；并且设问若要使两个6同时出现至少一次更有可能，需要多少次重复同时投掷两个色子。

解法是相同的，但是原始的计算过程是艰难的。

如今我们可以借助小型计算机或者袖珍计算器来快速地得到结果，然而直到17世纪，较便捷的对数和计算尺才被使用。

直到第24次投掷没有双6产生的可能性都更大，但是第25次投掷就将扭转这一局面。

大多数具有“计算这些事件中至少一个发生的概率”

这种格式的问题，都可以用这种方式解决：计算它们均不发生的概率，然后从单位1中减掉这个概率。

[1]　惠斯特纸牌（whist）和桥牌（bridge）均为经典的纸牌游戏。

[2]　原文中，甲乙丙丁分别为：Anne、Brain、和Debby。