格格党

手机浏览器扫描二维码访问

第244章 至此证明完成（第4页）

“有了这个变换，筛法和圆法就不再是两套互不兼容的语言了。

在变换t的作用下，筛法的误差项被重新分配到了圆法的积分路径上。

而圆法的积分路径，是可以自由选择的。”

“这就是分层筛法和鞍点圆法的核心。”

他在黑板上画了一条蜿蜒的曲线。

“分层筛法，把素数按照对数尺度分成多层。

每一层只处理特定尺度的信息。

具体来说，对於不超过n的素数，我按（logn）的大小区间把它分成j层，第j层的素数p满足2^{j}≤logp＜2^{j+1}。

在每一层內部，筛函数的误差可以独立控制，不同层之间的误差不会交叉污染。”

“然后，每一层的筛分结果通过傅立叶-米库辛变换映射到复平面上，变成一个围道积分。

这个围道积分的路径不是固定的，我可以选择它。

如果我把积分路径选在最速下降曲线上，也就是鞍点附近梯度最陡的方向，那么积分的主项就由鞍点处的贡献决定，余项隨著参数n的增大会以指数速度衰减。”

他在黑板上写下鞍点积分的估计式。

“鞍点由方程ddz（log?（z）-z·logn）=0確定。

在最速下降路径上，积分的主项贡献是（2π|?″（z?）|）^{12}·?（z?）·n^{z?}·（1+o（1logn）），而余项被控制在o（n^{re（z?）}·exp（-c·（logn）^{12}））的量级，这个量级远远小於主项。”

“现在，筛法的精度和圆法的灵活性，通过傅立叶-米库辛变换连接在了一起。

筛法提供分层精度，圆法提供全局估计，对偶变换弥合了两者的语言隔阂。

最终，哥德巴赫问题的表法个数r（n）可以表示为一个主项加上一个可控的余项。”

他在黑板上写下最终的表达式。

r（n）=（n）·n（logn）^2+o（n（logn）^3），其中（n）是奇异级数，定义为n_{p|n}（1-1（p-1）^2）·n_{p?n}（1+1（p-1）^2），对所有素数p取乘积。

这个奇异级数可以具体计算，並且对偶数n，它严格大於一个绝对正常数。

写完，他手里的粉笔也快要用完了。

“把表法个数r（n）的下界估计出来之后，问题最后归结为：证明一个几何不变量不等於零。

这个几何不变量，来源於弗洛尔同调群里的某个拓扑指標。

確切地说，我在顾辛流型上构造了一个与素数分布对应的拉格朗日子流形，计算它的弗洛尔同调群，发现它的秩恰好等於奇异级数（n）在一个特定极限下的取值。”

“而弗洛尔同调群的这个拓扑指標，我已经在去年关於孪生素数猜想的论文里证明过了，它不可能为零。”

他转过身，用仅存的一点粉笔在黑板上写下了最后一行。

“综上，对任意大於2的偶数n，r（n）≥c·n（logn）^2＞0，其中c是可具体计算的正常数。

哥德巴赫猜想成立。”

笔落，最后一点粉笔也用尽了，他拍了拍手，转过身来，直面台下的上万人。

聚光灯落在他清瘦的身影上，把他的影子投在了写满公式的黑板上。

“至此，证明完成。”