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第49章 六分钟搞定两道解答题监考老师感觉几十年数学白学了（第2页）

“所以证明分两步：一是证∑（a_i-x）2≥n（n-1）对所有满足条件的{a_i}和某个特定的x成立；二是证这个下界是紧的，即存在一组{a_i}和x使等號成立。”

想通了这一点，江辰笑了。

“出题人有点东西啊，还玩文字游戏。”

他提笔，重新写：

“证：由柯西不等式，（∑_{i=1}^na_i）2≤n∑_{i=1}^na_i2，即0≤n·1，恆成立，但此不等式无法直接得到所需结论。”

“考虑固定{a_i}，令f（x）=∑（a_i-x）2=nx2+1，最小值为1（当x=0时）。

但1可能小於n（n-1）（当n＞2时），故需考虑调整{a_i}使下界最大化。”

“实际上，由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，可得∑_{i≠j}a_ia_j=-12（展开（∑a_i）2=0得）。”

“则∑（a_i-x）2=1+nx2，要使其下界最大，等价於求1+nx2的最小值？不对，应该是在所有满足条件的{a_i}中，求min_xmax_{a_i}∑（a_i-x）2？也不是……”

江辰摇了摇头。

“妈的，这题比我想像的麻烦。”

不过也只是“麻烦”

，不是“难”

。

他换了个思路。

“直接用拉格朗日乘数法吧，虽然超纲，但管他呢。”

“考虑优化问题：给定∑a_i=0，∑a_i2=1，求min_xmax_{a_i}∑（a_i-x）2的下界。”

“固定x，求max_{a_i}∑（a_i-x）2在约束下的最大值……”

“由拉格朗日函数l=∑（a_i-x）2+λ∑a_i+μ（∑a_i2-1），求偏导得2（a_i-x）+λ+2μa_i=0，解得a_i=（2x-λ）（2+2μ）……”

“代入约束解λ，μ，最后得最坏情况下∑（a_i-x）2=n（n-1）……”

三分钟，密密麻麻写了一整页。

写完，江辰鬆了口气。

“搞定。”

他看了眼时间：9:43。

……

讲台上，监考老师刘月一直在盯著江辰。

看到江辰三分钟就写完第一题，她眼珠子都快瞪出来了。

“这……这怎么可能？”

她忍不住走下讲台，假装巡视，走到江辰身后。

然后她看到了江辰的答案。

从最初的错误理解，到重新分析，再到用拉格朗日乘数法完整求解……

步骤严谨，逻辑清晰。

而且……全对。

刘月感觉自己的世界观受到了衝击。

这可是二试第一题啊！

45分的大题！

往年这种题，顶尖学神也要花二三十分钟才能做完。