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1椅子摆放问题（第1页）

.1椅子摆放问题

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椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题.把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而，只需要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了，可用数学工具证实吗？

1.　模型准备

仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关.如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模.为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：

2.　模型假设

（1）　椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）.

（2）　地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断（对地面的假设）.

（3）　椅子放在地面上至少有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的假设）.

根据上述假设结论本问题的模型构成：

图21椅子旋转示意图

3.　模型构成

用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图21.图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线.于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函数.注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况.本题引入两个函数即可以描述椅子四个脚是否着地情况.记函数f（θ）为椅脚A和C与地面的垂直距离之和.函数g（θ）为椅脚B和D与地面的垂直距离之和.则显然有f（θ）≥0、g（θ）≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）.由假设3，对任意的θ，有f（θ）、g（θ）至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f（0）0、g（0）=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：

4.　数学命题（问题1的数学模型）

已知f（θ）、g（θ）都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f（θ）g（θ）=0，且f（0）0、g（0）=0，则存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0.

5.　模型求解

证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由f（0）0、g（0）=0变为f（π2）=0、g（π2）0，构造函数h（θ）=f（θ）-g（θ），则有h（0）0和h（π2）