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5人口增长模型（第2页）

（1）　19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战.

（2）　注意到limt→∞P（t）=limt→∞P0er（t－t0）=+∞，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正.

4.　模型讨论

为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所作的假设和限制是非常必要的.

（1）　我们把人口数仅仅看成是时间t的函数P（t），忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响.

（2）　假定P（t）是连续可微的.这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的.

（3）　人口增长率是常数r，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中.

（4）　模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生.

不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口.

模型二阻滞增长模型（Logistic）

一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远.在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源、环境条件等因素）.随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降.许多国家的实际情况都是如此.定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的.

1.　模型假设

（1）　地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1P*（这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为P*）；

（2）　在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源s=1－PP*成正比；比例系数r*表示人口的固有增长率；

（3）　设人口数P（t）足够大，可以视做连续变量处理，且P（t）关于t连续可微.

2.　模型建立及求解

由模型假设，可将人口数的净增长率r视为人口数P（t）的函数，由于资源对人口增长的限制，r（P）应是P（t）的减函数，特别是当P（t）达到极限承载人口数P*时，应有净增长率r（P）=0，当人口数P（t）超过P*时，应当发生负增长.基于如上想法，可令

r（P）=r*·s=r*·（1－PP*）.

用r（P）代替指数增长模型中的r导出如下微分方程模型：

dPdt=r*·P·（1-PP*）

P（t0）=P0（3.10）

这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为

P（t）=P*1+P*P0－1·e－r*·（t－t0）.

在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）.其图形如图32所示.

图32Logistic模型

3.　模型检验

从图32可以看出，人口总数具有如下规律：

当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值P0