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6战争模型（第3页）

3.　模型求解

从模型方程得到

rx·sx·Sx·dx=ry·sy·Sy·dy，

进而可得该模型的解满足：

rx·sx·Sx·x－ry·sy·Sy·y=L，

结合初始条件，知

L=rx·sx·Sx·x0－ry·sy·Sy·y0.

4.　战争结局分析

模型解所确定的图形是直线，如图34所示.像分析正规作战模型一样，可知L0时甲方获胜，L=0时，双方战平.

图34线性律

不难发现，甲方获胜的充要条件为

rx·sx·Sx·x0－ry·sy·Sy·y00，

即

rx·sx·Sx·x0ry·sy·Sy·y0.

从其形式，可以发现一种用于游击作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为rx·sx·Sx·x，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、炮弹的有效杀伤范围的面积、部队的有效活动区域的面积、士兵数四者均服从正比例关系，这样在四个要素中当只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，它们均可以带来部队综合战斗力成倍的提升，即没有像在正规作战模型中所表现出的差别.特别考虑士兵数在表达式中的地位，游击作战模型又被称为线性律模型.

3.4.3模型三混合作战模型

1.　模型假设

（1）　不考虑增援，忽略非战斗减员；

（2）　甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式；

（3）　以b、c分别表示甲乙双方的战斗有效系数，若以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，以Sx表示甲方的有效活动区域的面积，以Sy表示乙方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，则b=rxpx，c=ry·sySx.

2.　模型建立

根据对正规作战和游击作战的分析，得混合作战的数学模型：

x′=－c·x·y

y′=－b·x

x（0）=x0，y（0）=y0

3.　模型求解

从模型方程得到该模型的解满足：

2bx-cy2=M

其中M=2bx0－cy20，　c=ry·sysx

4.　战争结局分析

模型解所确定的图形是一条抛物线，如图35所示.可知M0时甲方获胜，M=0时，双方战平.

图35抛物律

并且，乙方获胜的充要条件为

2rxpxSxx0－rysyy010，乙方必须10倍于甲方的兵力.

6.　点评与讨论

在战争模型里，我们应用了微分方程建模的思想.我们知道，一个战争总是要持续一段时间的，随着战争态势的发展，交战双方的人力随时间不断变化.

这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化，我们通过将变量对时间求导来反映其变化规律，预测其未来的形态.譬如在战争模型中，我们首先要描述的就是单位时间双方兵力的变化.我们通过分析这一变化和哪些因素有关以及它们之间的具体关系列出微分方程.然后通过对方程组化简得出双方的关系.这也就是我们微分方程建模的步骤.