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8种群竞争模型（第2页）

P1（0，0）、P2（N1，0）、P3（0，N2）、P41－σ11－σ1·σ2·N1，1－σ21－σ1·σ2·N2.

（1）　讨论平衡点P1（0，0）的稳定性

为此，将微分方程

x′1=r1·x1·（1－x1N1－σ1·x2N2）

x′2=r2·x2·（1－σ2·x1N1－x2N2）

的右端函数以其在P1（0，0）的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统

x′=r1·x1

x′2=r2·x2，

此时系数矩阵A=r10

0r2，其两特征值λ1=r10，λ2=r20，按照上一节中判断平衡点稳定性的方法，计算得

P=－（a11+a22）=－（r1+r2）0，p2≥4q，

P1（0，0）是不稳定性的（结点）；这表明两种群不会同时灭绝.

（2）　确定平衡点P2（N1，0）的稳定性

将微分方程

x′1=r1·x1·（1－x1N1－σ1·x2N2）

x′2=r2·x2（1－σ2·x1N1－x2N2）

的右端函数以其在P2（N1，0）的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统

x′1=－r·（x1－N1）－σ1N1N2r1·x2

x′2=（1－σ2）r2·x2，

此时系数矩阵为

A=－r1－σ1N1N2·r1

0（1－σ2）·r2，

A的两个特征值分别为：

λ1=－r11时，平衡点P2（N1，0）是（局部）稳定的；条件σ21表示在消耗供养乙的资源中甲强于乙，此时，乙种群终将在竞争中灭绝，而甲种群能够一直存活下去并趋向于其最大容量N1.

（3）　确定平衡点P3（0，N2）的稳定性

与2的讨论类似，可以得平衡点P3（0，N2）是（局部）稳定的充要条件为σ11；条件σ11表示在消耗供养甲的资源中乙强于甲，此时，甲种群终将要在竞争中灭绝，而乙种群能够一直存活下去.

（4）　确定平衡点P41－σ11－σ1σ2·N1，1－σ11－σ1σ2·N2的稳定性

平衡点P41－σ11－σ1σ2·N1，1－σ11－σ1σ2·N2只有在第一象限内方有实际意义，为此应有σi（i=1，2）同时大于“1”

或同时小于“1”

，采用类似2的分析，可以得到当σi（i=1，2）同时大于“1”

时，平衡点P4为一鞍点，是不稳定的；当σi（i=1，2）同时小于“1”

时，平衡点P4为一稳定的结点.σ1