格格党

手机浏览器扫描二维码访问

第三 MCAT能力估计方法（第2页）

（一）牛顿-拉夫逊迭代

若记g（θi|Ui）为被试i能力为θi的后验分布，并记g（θi）服从均值为μ，协方差矩阵为Φ的多变量正态分布（θi先验的分布），记g（Ui）为Ui的边际概率，根据贝叶斯定理，有

也即通过解如下方程式获取：

其中

同样，上述方程为非线性方程，可通过牛顿-拉夫逊（on-Raphson）迭代方法求其近似解，即

其中

J（θ（v）i）为f（θl|Ui）在θi处的二阶导矩阵，它是p×p的对称矩阵，即

其中J（θ（v）i）的对角元素为

φkk为Φ-1矩阵的第k行第k列元素。

J（θ（v）i）的非对角元素为

φkl为Φ-1矩阵的第k行第L列元素。

（二）Fisher-score迭代

与MLE同理，如果初始值与参数真值相差较远，则上公式中的参数可能无法收敛。

这时可以采用Fisher-scall，1996）来保证收敛，即采用二阶导的期望矩阵（信息矩阵）来代替二阶导矩阵，即

其中

W矩阵同样为对称矩阵，其第k行第k列元素为

第k行第L列元素为

三、贝叶斯期望后验估计

贝叶斯期望后验估计算法可以通过高斯-埃尔米特求积或MonteCarlo积分求能力维度的后验边际期望估计值，即

θp指第p维能力，qp指第p维能力的结点数，A（θp）指能力θp在对应标准正态分布上的权。