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二数学所给予人们的（第3页）

从一到无穷的整数中，整数是无穷的；从一到二间的数也是无穷的；从一到二分之一，或二十分之一，二百分之一……以至于二亿分之一间的数仍然也是无穷的。

这样的想象只能使人们感着枯燥没有一点美感吗？崇高和伟大是兴起美感的，使我们感着大而又大，大之外还有大，无论如何可以超出我们的想象力以外，这样的美感从什么地方还可得着呢？大，大至无穷；小，小至无穷；变幻，变幻至无穷；极纷繁不可计的，可以合综到极简单；极简单的可以推演到无量数。

这样的能动的、内心的美感不值得赞颂吗？

已经说过的话也不少了，或者已可以表现数学所给予我们的很不算小吧。

我们所能从它得到的只有这些吗？还有更大的没有呢？我想，将我们居住的世界在精神上扩延出去，使我们不执着在现实的六合[9]以内，才是数学最大的恩惠。

要说到这一层，较详的叙述实无法免去。

我们想象有种在直线上生活的人——说他是人——他的行动只有前进和后退，没有改变方向——无论上下、左右的能力。

这样的人，倘若被我们在他进行[10]的直线的路中前后都加上了极薄极薄、极短极短的阻隔——只要有阻隔，无论怎样薄怎样短——要不许他冲破那阻隔，他只有陷到不幸，困死在里面了。

在我们看去，这是何等地可笑呢？脚一提或由左右一移动就得到生路了。

但这是我们不只能在直线方向活动的人替他想的，他绝不能领会。

比他更进步——假定说——的人，我们设想他不但能在直线上活动，在平面内都能活动。

这个世界的人，自然不至于有前一种世界的人的厄运，因为他可以由旁边活动——虽然还不能上下活动——得到生路。

但是，我们对于他，只要在他所在的平面上，围着他画一个小圈，虽然这圈是用墨笔画的，在我们已经看不出它的厚来，只要不许他冲破，也就可以限制他的活动，围困他了。

我们用我们的智慧可以指示他，叫他不用力地跳下就可以出来。

但“跳”

是上下的活动，是他不能理会的，所以这样的指示就和对牛弹琴一样，不能给他微末的帮助，这也是我们从旁看去以为可笑的。

我们笑他们，固然他们只有忍受了，或者他们和我们一样，不唯不能领受别人的指示，而且永远想不到那样的指示是有的。

这句话似乎很可惊异了，但是我要提出一个问题：假如有人将我们用一口极薄的纸做成的箱子封闭在里面，不许我们扯破箱子，我们能出来吗？不在里面困死吗？直线世界的人不打破他前后的阻碍不能出来，我们笑他；平面世界的人不打破他四周——前后左右——的围圈不能出来，我们笑他；我们自己呢，不过多一条出路——上下——把这条多的出路一同封住，也就只有坐以待毙，这不应当受非笑吗？不，这是不应当的，因为我们和他们有一点不同。

他们的困难是我们所能解除的，我们的困难是不能解除的。

因为除了前后、左右、上下三条路，实没有第四条路。

这样的解释，不过聊以**罢了。

我们在立体世界想不出第四条路和他们在直线世界想不出第二条路，在平面世界想不出第三条路不是一样的吗？不是只凭各自的生活的环境设想吗？直线世界的人不能因他的想象不能及而否认平面世界的人的第二条路，平面世界的人不能因他们的想象所不能及而否认我们的第三条路，我们有什么权利因我们的想象不能及否认第四条路呢？不将第四条路否认掉，第五、第六条路也就同样地难于否认。

有了三条路以外的路，不打破薄纸做成的纸箱，除了我们立体世界的笨伯有什么不能出来呢？这样的说法，执着在物质的现实界的人们除了惊异摇首而外，只有用实际的生活做武器来反对。

在立体世界的实际方面，第四条路是不能找出的。

但这样由合理的推论得到的理想的世界——这里只是比喻说，数学上自有根于理论的证明——使我们的精神生活不囿于六合以内，这是何等伟大的成就！

愚蠢的人们劳心焦思地统领着一班富于兽性的人，杀戮了许多善良的朋友，才争得尺寸的地盘。

不费一矢，不伤一人，不和任何人相角逐，在立体的世界以外，开拓了第四、第五条路来。

不占有而享受，精神界的领域何等广漠！

这就是数学所给予人们的！

[6]小九九：即九九歌，也称乘法口诀，如“二五一十，三六十八”

等。

[7]飞归：珠算中两位数除法的一种简便算法，将归除合并。

[8]难于轩轾：今作“难分轩轾”

。

[9]六合：指上下和东西南北四方，泛指天下或宇宙。

[10]进行：今作“行进”

。