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六堆罗汉（第3页）

在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。

假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然单只就式子的“形式”

去考查，但这种考查我们用不到怀疑。

在某一意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓n变到n+1，就无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：

（一）

（二）

（三）

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式全然相同。

因此，我们得出一个极重要的结论：

“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来，这三个式子至少对于4都是对的。

运用这个结论，我们无须再试验，也就有理由可以断定它们对于5都是对的。

既然对于5对了，那么同一理由，对于6也是对的，再推下去就对于7、8、9……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。

这种证明法，我们叫它是数学归纳法。

数学上所常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。

关于堆罗汉这类数列的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。

本来：

S=1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n

若将这式子右边各项的顺序掉过，就得

S=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1

再将两式相加，我们便得出下式：

2S=（1+n）+[2+（n-1）]+[3+（n-2）]+…+[（n-2）+3]+[（n-1）+2]+（n+1）

=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）+（n+1）

=n（n+1）

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点用不到怀疑，不过我们所用的方法究竟可靠不可靠也得注意。

一般地说来，演绎法总比较不大稳当，为的是它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子右边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”

的。

然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。

所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法，可以适用交换定则，也得另有根据。

至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽则没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。

前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：