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六堆罗汉（第4页）

（一）就少数的数目来观察出一个共通的形式；

（二）将这形式推到一般去，“假定”

它是对的；

（三）校勘这假定的形式，是否再能往前推去；

（四）如果校勘的结果是肯定的，那么我们的假定就可认为合于事实了。

前面我们曾经说过：

12=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

由这几个式子我们知道：

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

就这四个式子观察，我们可以得一个共通形式，就是：左边是从1起的连续奇数的和，右边是这和所含奇数的“个数”

的平方。

将这形式推到一般去，假定它是对的，那就得出：

1+3+5+…+（2n-1）=n2

到了这一步，我们就要来校勘一下，这形式再往前推一个奇数究竟对不对了，我们在式子的两边同时加上（2n-1）下面的一个奇数（2n+1），于是：

1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）

=n2+（2n+1）=n2+2n+1=（n+1）2

从这结果，可知我们的假定如果对于n是对的，那么对于n+1也是对的。

依我们的观察，我们的假设n等于1、2、3、4的时候都是对的，所以对于5，对于6，对于7、8、9……一步一步地往前推都是对的，而我们的假定可认为合于事实。

将数学归纳法来和一般的归纳法两相比较，这是一个很有趣味的问题。

大体来说，它俩并没有什么根本的差异。

我们还无妨说数学归纳法是一般的归纳法的一个特殊的形式，试从我们所取的步骤来比较一下。

第一步，在它俩当中，都离不了观察和实验，而观察和实验的对象也都同是一些特殊的事实。

在我们前面所举的例子当中，似乎只用到观察，并没有经过什么实验。

在事实上，我们所研究的对象，有些固然是无法去实验，只得单凭观察去探究的。

不过这是另外一个问题。

若就过程上说，我们所举的例子的第一步当中，也不是全然没有实验的意味。

比如最后一个例子，我们从1=12这个式子是什么意义也发现不出来的，于是我们只好去看第二个式子1+3=22，就这个式子说，我们有许多的假定能够得出来。

前面所用过的，说左边要乘方的2就是表示右边的项数，这自然是其中的一个。

但我们也可以说，那指数2才是表示右边的项数。