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九韩信点兵（第4页）

并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。”

“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置一十五；一百六以上，以一百五减之，即得。”

后一小段可以说是这类问题的基本算法，而前一小段却是本问题的解答，用现在的式子照写出来便是：

70×2+21×3+15×2=140+63+30=233

233-105×2=233-210=23

照前面的说法，自然是士大夫气很重，也可以说是讲义体，一般人当然很难明白，但到了周密的书，便有诗歌形式的说明，那诗道：

“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。

七度上元重相会，寒食清明便可知。”

这诗虽然容易记诵，但意义不很明白，而且说得也欠周到。

到了程大位，它就改了面目：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆月正半，除百零五便得知。”

这诗流传得非常广，所以如卖盐老板之流也都知道，而我的哥哥所告诉我的秘诀就是它。

是的，知道了它，这类的题目便可以机械地算了，将三除所得的余数去乘七十，五除所得的余数去乘二十一，七除所得的余数去乘十五，再把这三项乘积相加，如所得的和比一百零五小，那便是所求的答数。

不然，则减去一百零五的倍数而得出比一百零五小的数来——这里所要求的只是一个最小的答数——例如三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三，那么，运算的程序便是：

70×1+21×4+15×3=70+84+45=199

199-105=94

若单只就实用或游戏说，熟记这秘诀已很够受用了，至于它是从哪儿来的，一般人哪管得这么多？但就数学的立场来说，这种知其然而不知其所以然的态度却没有多大的价值，并且即使熟记着这秘诀，所能应付的问题不过一百零五个，因为只限于三三，五五，七七三种数法。

我们要默记这一百零五个答数并不是不可能，然而到得果真熟记着这一百零五个答数，那就更无意味了（见文末附注）。

所以我们第一要问，为什么这样就是对的？

要说明个中的理由，我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：

（一）某数的倍数的倍数，还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。

（二）某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一起，他们仍然是我的哥哥一般。

依了这两个定理来检讨上面的算法，设R3表示用三除所得的余数，R5和R7相应地表示用五除和用七除所得的余数，那么：

（一）七十是五和七的倍数，而是三的倍数多一，所以用R3去乘仍是五和七的倍数，而是三的倍数多R3。

（二）二十一是七和三的倍数，而是五的倍数多一，所以用R5去乘仍是七和三的倍数，而是五的倍数多R5。

（三）十五是三和五的倍数，而是七的倍数多一，所以用R7去乘仍是三和五的倍数，而是七的倍数多R7。

（四）所以这三项相加，就三说，是

70×R3+21×R5+15×R7=3的倍数+R3+3的倍数+3的倍数=3的倍数+R3。

若用三去除，所得的余数正是R3。

就五说，是

70×R3+21×R5+15×R7=5的倍数+R5+5的倍数+5的倍数=5的倍数+R5。

若用五去除，所得的余数正是R5。

就七说，是

70×R3+21×R5+15×R7=7的倍数+R7+7的倍数+7的倍数=7倍数+R7。

若用七去除，所得的余数正是R7。

这就可以证明我们如法炮制出来的数是合题的。

至于在比一百零五大的时候，要减去它的倍数，使得数小于一百零五，这只因为适合于题目的答数本来无穷，只得取最小的一个做代表的缘故。