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九韩信点兵（第6页）

第一次的余数2=35-3×11

第二次的余数1=3-2×1=3-第一次的余数×1=3-（35-3×11）×1

第三次的余数1=2-1×1

=第一次的余数-第二次的余数×1

=35-3×11-[3-（35-3×11）×1]×1

=35-3×11-3×1+35×1-3×11×1×1

=35×（1+1）-3×（11+1+11）

=35×2*-3×23

就是3×23=35×2-1

上式中“*”

表示所求得的乘率，黑体字表示每次的寄数。

你看这求法多么巧妙！

现在用代数的方法一般地证明如下。

设A为定母，B为衍数，a0、a1、a2，…、an为各次的寄数，r0、r1、r2、…、rn为各次的余数，而rn等于1，依上面的式子写出来便是：

而r0=B-t0A

r1=A-a1r0=A-a1（B-t0A）=A-a1B+a1t0A

=t1A-a1B

t1=a1t0+1

r2=r0-q2r1=（B-t0A）-q2（t1A-a1B）=B-t0A-q2t1A+q2a1B

=a2B-t2A

a2=q2a1+a0

t2=q2t1+t0

r3=r1-q3r2=（t1A-a1B）-q3（a2B-t2A）

=t3A-a3B

a3=q3a2+a1

t3=q3t2+t1

…………………………

∴rn=anB-tnA

an=qnan-1+an-2

tn=qntn-1+tn-2

但rn=1

∴1=anB-tnA

就是anB=tnA+1

有了乘率，将它去乘衍数就得用数，上面已经证明了，所以在本例题，三、五和七的用数相应地便是七十（35×2）、二十一（21×1）和十五（15×1）。

杨辉的“剪管术”

中，同样的题目有好几个，试取两个照样演算于下。

（a）七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数几何？

（一）求衍数

泛母析母定母衍母衍数