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第17讲 贝塔分布的性质由两个数字决定（第3页）

图表17-1α＝1，β＝1的贝塔分布的概率分布图

17-4α＝2，β＝1的例子

17-2中已经作了说明，α＝2、β＝1时的贝塔分布为一次函数，即：

y＝（常数）x（0≤x≤1）…（3）

如图表17-2所示，函数的图像是一条穿过原点并向右上方延伸的线段。

在概率分布图中，由于概率通过面积体现，所有事件的概率p（0≤x≤1）与三角形OAB的面积相一致。

那么，基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。

而三角形的面积＝（底边）×（高）÷2，那么，底边为1，则高为2。

也就是说，x＝1时，y＝2。

因此，在（3）式中（常数）＝2。

换言之，α＝2，β＝1的贝塔分布为：

y＝2x（0≤x≤1）…（6）

图表17-2α＝2，β＝1时贝塔分布的概率分布图

下面通过一个例子，来帮助大家理解贝塔分布中的概率变化情况。

例如，求事件{0.5≤x＜0.7}的概率p（0.5≤x＜0.7）。

观察图表17-3，在概率分布图中，事件的概率通过面积来表示的，而概率p（0.5≤x＜0.7）是则为图中涂有颜色部分的梯形的面积。

梯形的上底长为x＝0.5时的y，则y＝2×0.5＝1。

梯形的下底长为x＝0.7时的y，则y＝2×0.7＝1.4。

之前已经讲过，这个并非概率，而是一个被称为概率密度的量。

此外，梯形的高度为0.7-0.5＝0.2。

因此可以求出梯形的面积为：（1＋1.4）×0.2÷2＝0.24。

也就是说，我们可以求出事件{0.5≤x＜0.7}的概率为：

p（0.5≤x＜0.7）＝0.24

图表17-3贝塔分布y＝2x时的概率

17-5α＝1，β＝2的例子

如17-2中所述，α＝1、β＝2时的贝塔分布为以下一次函数：

y＝（常数）（1-x）（0≤x≤1）…（4）

如图表17-4所示，函数的图像是一条穿过A（0，2），并向右下方延伸的线段。

在概率分布图中，由于概率通过面积来表示，故所有事件的概率p（0≤x≤1）是与三角形OAB的面积相一致的。

基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。

由于底边为1，故高为2。

也就是说，当x＝0时，y＝2。

因此，在（4）式中（常数）＝2。

换言之，α＝1，β＝2的贝塔分布为：

y＝2（1-x）（0≤x≤1）…（7）

图表17-4α＝1，β＝2的贝塔分布的概率分布图