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第20讲 在抛硬币或天体观测时观察到的正态分布（第1页）

第20讲在抛硬币或天体观测时观察到的“正态分布”

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20-1统计学的主角——“正态分布”

在统计学中，最常用的是被称为“正态分布”

的连续型概率分布。

在标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）中如此，在贝叶斯统计学中亦是如此。

正态分布之所以应用如此广泛的原因，主要有两个：

第一，正态分布有着十分便利的数学操作性，这一点在后面将会涉及。

第二，正态分布是一种在自然界和社会中频繁出现的概率分布。

本节将对第二点进行简要说明。

最初发现正态分布的实验是这样的：投掷N枚硬币时，把出现正面的x枚硬币的概率记为p（x），当N足够大的时候，p（x）的分布图会呈现出特殊的形状（吊钟型）。

亚伯拉罕－棣莫弗和拉普拉斯等数学家发现了该图表中对应的函数，即图表20-1的公式。

此后，数学家高斯在担任天文台主任时，通过分析天体观测时的误差所呈现出来的概率分布，也推导出了同样的分布图。

图表20-1标准正态分布

在高斯的研究之后，随着概率理论和统计学的进步，人们发现，在很多场合都能够观察到这样的正态分布。

例如，通过观察包括人类在内的各种各样的生物种群，可以发现了同一种群的体长遵循正态分布的规律。

此外，在体内的构成物（血液等）的分布，也呈正态分布趋势；在收到电波时出现的噪音中，也观察到了正态分布的现象。

而最近的股票收益率也呈正态分布，这是个强有力的证明。

总之，正态分布出现在我们身边的很多现象中。

20-2呈现吊钟型的正态分布

正态分布是指，分布图呈现特殊形状的一类分布。

为了让大家了解具体的形状，首先，我们来看被称为“标准正态分布”

代表性图表——图表20-1。

横轴x表示类别的数值，纵轴y表示的是出现的概率密度，该图表具有如下特征：

·以y轴（x＝0）为轴，左右对称。

·图像呈为吊钟型（铃型），最高点在x＝0的位置。

·无论x取何值，y也不会等于0（图表向左右两侧无限延伸）。

·在x≥2的部分，图像急剧下降；同样，在x≤-2的部分，图像也急剧下降。

图表20-2标准正态分布的概率

图表20-1右上方横向写的，是表示概率密度的函数的公式，公式本身非常复杂，估计大多数读者看了会眼花吧。

系数的分母是以圆周率π的平方根的形式出现的，不过，这并不重要（只是为了满足标准化条件），而重要的是：无理数e（纳皮尔常数）的取幂，以及二次函数的指数部分为负的系数。

这正是图像呈之前所述的形状和特征的原因所在。

但后面的内容中不会再出现这个函数，因此简单了解即可，即使后面忘记了也没关系。

这个一是连续型的概率分布。