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第二章 波斯棋盘（第3页）

一个简洁优雅的计算方法如下：指数告诉我们要把一个数字乘自己几次，22=2×2=4，24=2×2×2×2=16，210=1024，等等。

第1格上的麦粒是1，第2格是2，第3格是22，第4格是23，第64格是263，如果用S代表棋盘上的所有麦粒的总数，那么：

S=1+2+22+23+……+262+263

我们把上式乘以2，得到：

2S=2+22+23+……+262+263+264

注意，2S比S多一个264，少一个1。

如果用2S的方程减掉S的方程，所有其他项都消掉了，只剩下两项，就是我们的答案：

2S-S=S=264-1

这就是正确答案。

如果用我们熟悉的十进制来表达264，是多少呢？当然，可以用计算机来算，不过还有一个更简单的方法。

注意，210=1024，因此210约为1000=103（准确度，24%），220=2（10×2）=（210）2≈（103）2=106，约为100万。

因此260=（210）6≈（103）6=1018，所以264=24×260≈16×1018，或16后面跟了18个0。

用计算机算出的正确答案是1.85×1019。

天然障碍阻止指数增长

最常见的指数增长现象是生物界的生殖过程。

我们现在来看一下简单的细菌生殖问题。

细菌的生殖方法是二分裂。

过了某个时间，1个单细胞细菌就会一分为二，成为2个第二代细胞。

再过一段时间，这两个第二代细胞又会各自一分为二，产生4个细胞。

只要有充分的食物，且环境中无毒素，这一细胞群的数目将以指数方式增殖。

若环境适宜，细菌可能每15分钟就繁殖1次，1小时内就繁殖4次，一天繁殖96次。

虽然每个单细胞细菌的重量只有一万亿分之一克，经过一天的无限制无性生殖后，细胞群的全部重量相当于一座山；一天半后，其总重将为半个地球；两天后，其总重将超过太阳，要不了多少时间，全宇宙中都将弥漫这种细菌。

这后果当然是不堪设想的。

很幸运的是，这个假想的后果永不会发生。

为什么？因为像这样的指数增长总会遇到一些天然的障碍。

这些小生物不久就没食物可吃了；或者它们消化食物后排泄出的废料成为毒死自己的毒素；或因为空间太拥挤了，没有隐私，它们开始对生殖感到害羞；等等。

指数增长不可能无穷无尽地进行下去，因为不久就会粍尽所有资源。

而早在把资源耗尽之前，可能已经遇到一些阻碍指数增长的因素了。

因此，指数增长的曲线将趋于平缓（见图示）。

细菌增殖数变化曲线

这种阻止指数增长的特性对于预防艾滋病的流行蔓延十分重要。

现在，许多国家的艾滋病感染人数以指数方式激增。

目前，每年感染艾滋病的人数加倍成长。

如果长此以往，后果将不堪设想。

10年内，感染人数将为目前的1000倍；20年后，是100万倍。

可是，如果真达到100万倍的话，艾滋病感染人口将超过现在全球人口的总数。

如果每年的艾滋病人数持续倍增，且没有任何天然的障碍，也没有治愈艾滋病的新药研发出来（目前真的没有），那么按此推测，全球人口都将在短期内死于艾滋病。