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第45章 一道平面几何题的五种解法探索（第1页）

凌凡的“数学筑基工程”

进行到平面几何部分。

这是初中数学的另一大基石，也是许多学生头疼的领域，充斥着各种看都看不出来的辅助线和灵光一闪的奇妙思路。

对于凌凡这种自认“脑洞大”

但“逻辑弱”

的学渣来说，几何曾经是他的噩梦——那些图形在他眼里不是智慧的结晶，而是一堆莫名其妙线条的堆砌。

但现在，手握“错题五步法”

和“回归基础”

两大法宝，他决定换一种方式来叩击几何之门。

这天，他遇到了一道初中几何的经典题，难度中等偏上，正好卡在他的“最近发展区”

——【题目】：如图，在△abc中，ab=ac，∠bac=120°。

d是bc边上的点，且bd=2dc。

求证：ad⊥bc。

（他手动画了个草图：一个顶角120°的等腰三角形，底边bc上有一个点d，满足bd是dc的两倍。

）凌凡盯着题目看了五分钟，大脑一片空白。

证明垂直？通常需要证角度相等或勾股定理逆定理。

但在这个图形里，角度乱七八糟，线段长度也不知道，从哪里下手？若是以前，他最多挣扎十分钟，然后就会放弃，直接去看答案，哦一声，感叹一下“原来要这么作辅助线”

，然后……就没有然后了。

但这一次，他没有。

他想起陈景先生说过：“一道好题，就像一颗钻石，有很多个切割面，从不同的角度去看，会闪耀出不同的光芒。

只满足于一种解法，是买椟还珠。”

而且，他最近夯实基础，特别是对全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数（正弦余弦定理）有了更深入的理解，隐隐觉得这些工具似乎都能用上。

一个大胆的、甚至有些“疯狂”

的念头在他脑中诞生：“我要用尽可能多的方法来解决这道题！

看看这颗‘钻石’到底有多少个切面！”

这个想法让他兴奋起来，仿佛不是在做题，而是在策划一场有趣的思维探险。

他拿出最大的草稿纸，在中间画下标准的图形，标好所有已知条件。

然后，像开辟战场一样，在草稿纸的四周划出几块区域，分别写上：【解法一：面积法】【解法二：勾股定理法】【解法三：相似三角形法】【解法四：坐标法】【解法五：三角函数法】他要同时向五个方向发起进攻！

战役一：面积法（最直观的尝试）思路：如果ad⊥bc，那么ad就是△abc在bc边上的高。

或许可以从面积关系入手？用余弦定理或作高，他用了作高，顺便复习了含30°的直角三角形三边关系。

但如何证明这个比例？需要知道s△abd和s△adc的面积关系。