格格党

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第45章 一道平面几何题的五种解法探索（第2页）

他连接a和bc中点？不对…他尝试用共角三角形面积比…△abd和△abc共享∠b？不对，底边不同…卡住了。

面积法似乎需要更巧妙的构造，他暂时搁置。

（解法一：暂时受阻）战役二：勾股定理法（最朴素的暴力计算）思路：要证ad⊥bc，只需在△abd和△adc中，证明ad2+bd2=ab2和ad2+dc2=ac2？不对，这是直角三角形判定，但需要的是ad2+某个值？更直接：如果ad⊥bc，垂足为h，那么只需证明ad2=ah2+dh2？这又绕回去了。

正确的勾股定理应用，应该是分别表示出ad、ab、bd等的长度，然后看是否存在平方关系。

他设dc=x，则bd=2x，bc=3x。

由ab=ac，∠a=120°，利用余弦定理可求出ab2=（3x）2+?不对，余弦定理是针对△abc的边bc…他发现自己对勾股定理和余弦定理的应用场景有些混淆，计算也变得复杂。

（解法二：陷入计算泥潭，暂时放弃）战役三：相似三角形法（需要辅助线的灵光一闪）思路：证明垂直，常常可以通过证明角相等来实现。

有没有相似三角形能推出90°角？他仔细观察图形。

ab=ac，等腰三角形。

∠bac=120°，那么底角∠abc=∠acb=30°。

d是bc上一点，bd=2dc。

他尝试过d点作de平行于ac交ab于e？或者作df平行于ab交ac于f？或者，更常见的，过a点作bc的垂线？但这就是直接去证垂直了，循环论证。

他需要构造出包含ad和bc的相似形。

苦思冥想…没有头绪。

（解法三：缺乏灵感，搁浅）连续三个方向受挫！

若是以前，凌凡早就崩溃放弃了。

但今天不同，他有五个战场！

一个方向不行，立刻切换另一个！

这种多线探索的方式，反而减轻了单一失败带来的挫败感。

战役四：坐标法（降维打击，无脑计算）思路：这是他的“杀手锏”

，也是他最近自学向量和坐标几何后想尝试的方法。

把几何问题代数化！

他立刻建立平面直角坐标系：以b点为原点（0，0），bc边放在x轴上，c点就在（3x，0）（因为设dc=x，bd=2x，bc=3x）。

现在需要确定a点坐标。

因为ab=ac，且∠a=120°。

嗯？！

不对！

点积不为零！

凌凡心里一惊，差点以为自己的筑基工程白费了。

但他迅速冷静检查。

发现错误：定比分点公式用错了！