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在高维情况下,尤其是当簇的奇点结构比较复杂时,经典的曲率估计工具会失效,或者说,它们给出的界限太『宽鬆了,没什么用。”
他起身走到公共区域的白板前,拿起笔,画了一个扭曲的多面体示意。
又在旁边写了一行英文:
“singularitiescauseuncontrolledcurvature”
(奇点导致曲率无法控制)。
“就像你想用一个柔软的网兜去罩住一个带刺的、形状不规则的东西,网兜要么太大罩不住,要么太紧会被刺破。
我们需要一种新的、更能適应『奇点的『网兜,或者说,需要一种更精细的方式来描述奇点附近的几何,並把它纳入到我们整个估计框架里。
这个问题,我们卡了快两年了。”
刘浩然说完,放下笔,看向肖宿。
他原本的预期,是肖宿会露出似懂非懂的表情,或者问几个基础性问题。
毕竟,这涉及到代数几何中奇点消解理论、復微分几何中的精细估计、甚至一些非交换几何的边缘思想,別说本科生,很多博士生都未必能立刻把握住难点所在。
然而,肖宿的表情却很奇怪。
他没有困惑,也没有立刻提问,而是盯著白板上那个粗糙的示意图和那行英文,陷入了长时间的沉默。
他的眼神再次失去了焦点,仿佛穿透了白板,看到了某种更深层、更抽象的结构。
他的右手手指无意识地在大腿上书页边缘轻轻敲击著,节奏平稳,像是在进行某种內在的推演。
教研室很安静,只有里间隱约的谈话声和窗外遥远的喧譁。
过了足足两三分钟,肖宿才缓缓眨了一下眼,目光重新聚焦,看向刘浩然。
他开口,声音不大,却异常清晰直接:
“你们试过,不从整体的曲率估计入手,而是反过来,先利用奇点本身的局部解析结构,去构造一种『带权重的度量吗?”
刘浩然愣住了。
“带权重的度量?”
“嗯。”
肖宿站起身,走到白板前,很自然地拿起了另一支笔。
刘浩然下意识地让开位置。
肖宿在刘浩然画的扭曲多面体旁边,画了一个抽象的、带有爆炸標记的点,代表奇点。
“奇点不是单纯的『坏点。”
肖宿一边画一边说,语气是他特有的那种平淡敘述事实的口吻。
“它有自己的分层结构,可以用解析延拓或者奇点解消(desingularization)的技术,把它展开成一个更简单的几何对象。
在这个过程中,原来奇点处的信息,会转化成新几何对象上某些子簇的『权重。”
他在那个爆炸点周围画了几条放射状的线,又在线末端画了几个小圈。
“如果,我们把这种『权重直接整合到对空间本身的度量定义里去,定义一个依赖於奇点结构的、新的『距离概念。
那么,在这个新度量下,原来奇点附近『曲率爆炸的问题,可能就会被权重『压制或『重新规范化,变成可处理的形式。”
肖宿停下笔,看著自己画的简图,眉头又微微皱起,似乎在推敲细节。
“这只是个初步想法。
具体怎么构造这个权重函数,让它既反映奇点本质,又能导出有效的曲率比较定理,还需要仔细设计。
而且,需要验证在这种带权度量下,有理点分布的算术信息不会被扭曲得太厉害……可能需要用到一些p进分析的工具来校准。”
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