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第49章 六分钟搞定两道解答题监考老师感觉几十年数学白学了（第3页）

这个江辰……三分钟？

还用了大学数学的方法？

她深吸一口气，强迫自己冷静，继续看江辰做第二题。

……

【第二题（45分）】

【设s是平面上有限个点的集合，其中任意三点不共线。

称一个“风箏”

是由四个点a，b，c，d∈s组成的四边形，满足ab=ad且cb=cd（即两组邻边分別相等）。

证明：如果s中任意四个点都能构成一个风箏，则s的所有点共圆。

】

江辰看完题，愣了一下。

“风箏四边形……共圆……”

他脑子里瞬间闪过好几个几何定理。

“这不是显然的吗？”

他提笔就写：

“证：取s中任意两点a，b，由条件，对任意另外两点c，d∈s{a，b}，四边形abcd是风箏。”

“特別地，取c为s中异於a，b的任意一点，则存在d（可能与c重合？不，d需异於a，b，c）使ab=ad且cb=cd。”

“但条件说『任意四个点都能构成一个风箏，这意味著对任意四点，其中某两个作为『肩点（等邻边的公共端点），另外两个作为『翼点。”

“考虑任意三点a，b，c，由条件存在d使ab=ad且cb=cd，即d在ab的中垂线和bc的中垂线交点上，故d是△abc外心？不对，外心是三条中垂线交点，这里只用到两条……”

“等等，这题需要仔细分析结构。”

江辰停笔，思考了几秒。

“任意四点都能构成风箏，意味著对任意四点，其中两点是某等腰三角形的顶点，另外两点是另一个等腰三角形的顶点，且这两个等腰三角形共用底边？不对，风箏是四边形，两组等邻边。”

“设四点a，b，c，d，风箏结构有两种可能：要么a、c是『肩点（ab=ad，cb=cd），要么b、d是『肩点（ba=bc，da=dc）。”

“由任意性，对任意三点a，b，c，考虑第四点d（取s中另一点），则四点a，b，c，d构成风箏。

若a是肩点，则ab=ad且cb=cd；若c是肩点，则ba=bc且da=dc；若b或d是肩点同理。”

“这会导致一系列等量关係……”

江辰在草稿纸上画了几个图。

十秒后，他眼睛一亮。

“有了！”

“引理：若任意四点构成风箏，则对任意三点a，b，c，有ab=ac或ba=bc或ca=cb至少一组成立。”

“证明：取第四点d，若a是肩点，则ab=ad且cb=cd，但这对b，c的关係无直接约束。

需另寻思路……”

“更直接的方法：考虑任意三点a，b，c，取s中另一点d，由条件四点构成风箏。

若a、c是肩点，则ab=ad且cb=cd，这推出ab=ad，cb=cd，但b、d关係未知。”

“实际上，由风箏定义，四边形abcd中，要么a、c是对角线交点？不，风箏通常指有一组对角相等且邻边相等的四边形……”

江辰皱了皱眉。

这题……有点绕。