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5多项式曲线预测模型（第2页）

经计算可知，该模型的二阶差分都为2b2，因此当时间序列各期数据的二阶差分大致相等，或时间序列的散点图近似于一条由高而低再高或由低而高再低的曲线时，可用二次抛物线趋势预测模型对时间序列进行预测.

我们仍然用最小二乘法确定二次抛物线趋势模型中的系数b0，b1，b2.设时间序列的各期数据为yi（i=1，2，…，n），令

Q（b0，b1，b2）=∑nt=1（yi-y∧i）2=∑ni=1（yi-b0-b1ti-b2t2i）2

达到最小.如果仍把时间原点取在时间序列期数的正中间，那么根据高等数学多元函数的极值原理，可求得

b0=∑ni=1yi∑ni=1t4i-∑ni=1t2i∑ni=1t2iyin∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2

b1=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i

b2=n∑ni=1t2iyi-∑ni=1yi∑ni=1t2in∑ni=1t4i-∑ni=1t2i2

例6.6某商店某种商品的销售量如表67所示，试预测2010年的销售量.

表67某产品销售量统计表单位：万件

年份199920002001200220032004200520062007

销售量10182530.535384039.538

图63某产品销售量的散点图（1999—2007）

解：该时间序列的散点图呈一条由低到高再低的曲线，且各期数据的二阶差分大致相等（见表68第四列），故建立二次抛物线趋势模型：y∧t=b0+b1t+b2t2.根据表68，将∑yi=274，∑t2i=60，∑t4i=708，∑yiti=214，∑yit2i=1613.5

代入公式，计算得b0=35.05，b1=3.57，b2=-0.69.所以二次抛物线趋势模型为

y∧t=35.05+3.57t-0.69t2

将2010年对应的时间t=7代入趋势模型，即可得到2010年商品销售量的预测值为

y∧2010=35.05+3.57×7-0.69×49=26.23万件.

表68二次抛物线趋势模型预测法计算表

年份销售量yiΔyiΔ2yi时间tit2it4iyitiyit2i

199910——-416256-40160

2000188—-3981-54162

2001257-1-2416-50100

200230.55.5-1.5-111-30.530.5

2003354.5-100000

2004383-1.51113838

2005402-1241680160

200639.5-0.5-2.53981118.5355.5

合计274——0607082141613.5

3.　指数曲线预测模型

（1）　一次指数曲线预测模型

大量研究表明，很多现象的发展相对于时间是按指数或接近指数规律增长的，例如文献的数量、飞机的速度、计算机的存储量和处理速度等，特别是技术发展的初期阶段、经济现象的发展过程都呈现指数曲线的趋势.一次指数曲线趋势模型的表达式为：

y∧t=a·bt

图64一次指数曲线的图形

其图形如图64所示，且ytyt-1=b.因此，当时间序列的散点图接近于图64的图形，或相邻两期数据比大致相等时，可用一次指数曲线趋势预测模型对时间序列进行预测.

对一次指数曲线趋势模型两边同时取对数，得

lny∧t=lna+lnb·t

令lny∧t=Y∧t，lna=A，lnb=B，就把一次指数曲线趋势模型转化为直线趋势模型