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周焕的黑历史（第2页）

原则是：同增或同减则复合函数增；一增一减则复合函数减。”

秦臆博努力理解：“同增同减增，一增一减减……”

她一边默念口诀，一边对照笔记上的例子。

周焕继续引导：“所以，在u单调递减的区间（-∞，1）上，外层f增，内层u减，一增一减，所以g（x）在（-∞，1）上……”

“减！”

秦臆博抢答，眼睛亮了一下。

“在u单调递增的区间（1，+∞）上，外层f增，内层u增，同增，所以g（x）在（1，+∞）上……”

“增！”

秦臆博感觉自己好像摸到了一点门道，但随即又想到关键，“那……怎么用定义法证明呢？老师刚才好像提了一句……”

周焕看了她一眼，似乎有些意外她会主动问证明。

他拿起笔，在笔记的空白处快速写下：

【设x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），

则u（x1）=x1^2-2x1，u（x2）=x2^2-2x2，

∵x1＜x2＞1，∴u（x1）＜u（x2）（因u在（1，+∞）增），

又∵f（u）在R上增，且u（x1）＜u（x2），

所以f（u（x1））＜f（u（x2）），即g（x1）＜g（x2），

故g（x）在（1，+∞）上单调递增。

】

步骤简洁，逻辑跳跃。

秦臆博盯着那几行推导，眉头越皱越紧。

“等等……”

她小声打断，指着第二步到第三步，“这里……为什么因为x1＜x2＞1，就能直接推出u（x1）＜u（x2）？怎么证的u在（1，+∞）增？好像跳过了？”

周焕笔尖一顿，似乎没料到她会卡在这里。

他重新看向她，眼神里带着一丝探究：“u=x^2-2x，二次函数，对称轴x=1，开口向上，在对称轴右侧单调递增。

这是基础性质。”

“我知道开口向上，对称轴右边增……”

秦臆博有点急，“但具体证明……就是设x1＜x2都在（1，+∞），然后作差u（x2）-u（x1）=（x2^2-2x2）-（x1^2-2x1）=（x2^2-x1^2）-2（x2-x1）=（x2-x1）（x2+x1）-2（x2-x1）=（x2-x1）（x2+x1-2）……”

她磕磕绊绊地回忆着普通班老师教的作差法，算到这里卡壳了，“然后……因为x2＞x1＞1，所以x2-x1＞0，x2+x1＞2，所以x2+x1-2＞0……所以整个乘积大于零？所以u（x2）＞u（x1）？”

她不太确定地看向周焕。

周焕眼中掠过一丝了然。

他明白了，她的基础薄弱点在于，对“已知的基础性质”

如何严谨地用定义法推导出来，这个过程是模糊的。

她可能背下了“开口向上对称轴右侧增”

这个结论，但对支撑这个结论的底层逻辑——定义法证明的完整步骤和变形技巧——并不熟练。

“对。”