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四从数学问题说到我们的思想（第4页）

（2）是钝角三角形，A是钝角，上面的定理用式子表示是这样：

BC2=AB2+AC2+2AB×DA

（3）是锐角三角形，A是锐角，上面的定理可以用下式表示：

BC2=AB2+AC2-2AB×DA

三条直线围成一个三角形，由角的形式上说，总只有直角、钝角和锐角三种，所以既有了这三个定理，三角形三边的长度的关系，已经全然明白了。

但分成三个定理，究竟，记起来未免麻烦，还是有些不适于我们的懒脾气。

能够想一个方法，将这三个定理合并成一个，岂不是其妙无比吗？

人，一方面固然懒，然而所以容许懒也就因为有些人高兴而且能够替懒人想方法的缘故。

我们想把这三个定理并成一个，也就真有人替我们想出方法来。

他对我们这样说：

“你记好两件事：第一件，在图上，从C画垂线到AB，若这条垂线，画来正好和CA重在一块儿，那么D和A也就分不开，两点并成了一点，DA的长是零。

第二件，若从C画垂线到AB，这垂线是落在三角形的外面，那么，C点也就在AB的外边，DA的长算是‘正’的；若垂线是落在三角形的里面，那么，D点就在AB的中间，DA在上面是从外向里，在这里却是从里向外，恰好相反，这就算它是‘负的’。”

记好这两件事，上面的三个定理，就只有一个了，那便是：

三角形一边的平方等于另两边的平方的和，加上，这两边中的一边和另一边在它上面的射影的乘积的二倍。

若用式子表示，那就是前面的第二个：

BC2=AB2+CA2+2AB×DA

照上面别人的吩咐，若A是直角，DA等于零，所以式子右边的第三项没有了；若A是钝角，DA是正的，这第三项也是正的，便要加到前面的两项的和去；若A是锐角，DA是负的，这第三项也是负的，便只好从前面的两项的和减出来。

到了这一步，毕达哥拉斯的定理算是真进步到很普遍、很单纯了。

记起来既便当，用起来也简单，依据它要往前进展自然容易得多。

上面只是讲到几何方面的进展，以下再来讲数论方面的，这和图没有关系，所以我们先将它用简单的式子写出来，就是：

x2+y2=z2

从这个式子，很可以发生出许多有趣味的问题，比如说，x，y，z若是相连的正整数，能够合于这个式子的条件的，究竟有多少呢？所谓相连的整数就是后一个比前一个只大一的，假如我们设y的数值是n，x比它小1，就应当是n减1，z比它大1，就应当是n加1，因为它们合于这个式子的条件，所以：

（n-1）2+n2=（n+1）2

将这个方程式解出来，我们知道n只能等于0或4，而y等于0，x是负1，z是正1，这不是三个连续正整数。

所以y只有等于4，x只有等于3，z只有等于5。

真巧极了，这便是中国的老数学书上的“勾三股四弦五”

的说法！

我们的老祖宗真比我们聪明得多！

由别的方面，若x，y，z都是整数，也还有许多性质可以研究，而且都是很有趣的，但这里不是编数学讲义，只得放过一旁暂且不表。

掉过方向，不管x，y，z，来看它们的指数，若那指数不是2而是n，那式子就是：

xn+yn=zn

n若是比2大的整数，x，y，z就不能全都是整数而且还没有一个等于零。

这是数学上很有名的费马大定理。

这个定理是在17世纪就说出来的，可惜他自己没有将它证明。

一直到了现在，研究数学的人，既举不出反证来将它推翻，也还是找不出一般的证明法。

现在只算做到了这一步，n在一百以内，有了些特殊的证法。

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关于数学的话，说起来总是使看的人头痛的，不知不觉地就写了这一大段，实在抱歉得很，就此不再说它，转过话头吧！

我的本意只想找点例子来说明，我们的思想若是只就特殊的范围去找精明、巧妙的法则，不向普遍的、开阔的方面发展，结果就不会有好的多的收获。

前面所举的例子，将我们自己去比别人，就很可以看出，由于思想的进向不同，我们实在吃亏不小。