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十四集合论（第5页）

的关系，似乎有一面是不可能的。

然而，你错了，你不好单就有限的数目去想，我们现在是在比较两个无限的集合呀！

“无限”

总有些奇怪的！

我们试将它俩一个对一个地排成两行：

1、2、3、4、5、…、n、（n+1）……

2、4、6、8、10、…、2n、（2n+2）……

因为两个都是“无限”

的缘故，自然我们不能把它们通都写出来。

但是我们已经可以看出来，第一行有一个数，只要用2去乘它就得出第二行中和它相对的数来。

掉一个头，第二行中有一个数，只要用2去除它，也就得出第一行中和它相对的数来，这个“一对一”

的关系不是无论用哪一行做基础都可能吗？那么，我们有什么权利来说这两个无限集合不一样呢？

整数的无限集合，因为它是无限集合中我们最容易理解的一个，又因为它可以由我们一个一个地举出来（虽然永远举不尽），所以我们替它取一个名字叫“可数集”

。

我们常常用它来做无限集合比较的标准，凡是次数和它相同的无限集合，都是“可数集”

——我们单凭直觉也就可以断定，整数的无限集合在所有的无限集合当中是次数顶低的一个，它可以被我们用来做比较的标准，也就是这个缘故。

究竟无限集合当中，有没有次数比这个“可数集”

更高的呢？我可以很爽快地回答你一个“有”

字。

不但是有，而且我们想要多少就有多少。

从这个回答，我们就已对于“无限”

算是比较地有些认识，不像以前一般模糊了。

这个回答，我供认不讳地向你说，我也是听来的，最初提出它来，也是康托，这已是三十多年的事了。

在数学界中，他真是值得我们崇敬的人物，他所创设的集合论，不但在近世数学中占了很珍贵的几页，还开辟了数学进展的一条新路径，使人不得不对他铭感五内！

人间的事，说来总有些奇怪，无论什么，不经人道破，大家便很懵懂。

但有人一凿穿，顿时人人都聪明了。

在它以前，我们只觉无限就是无限，吾生也有涯，总归弄它不清楚就以不了了之。

但现在想起来，实在有些可笑，无须什么证明，我们有些时候也能够觉到，无限集合是可以不相同的。

又来举个例子：比如前面我们所用来决定点的位置的直线，从O点起尽管伸张出去，它所包含的点，就是一个无限集合。

随便想去，我们就会觉得它的次数要比整数的无限集合的高，而从别的地方证明起来，也承认了我们所觉到的并没有错。

这样说来，我们的直觉很是一个可信赖的了。

但是，朋友！

你不要太乐观呀，在别的时候，纯粹的直觉就会叫你上当的。

你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。

我问你，全个正方形内的点的集合是不是比单只一边AB上的点的集合，它的次数要高些呢？凭了我们的直觉，总要给它一个肯定的回答的，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数却恰好只是相等。

总结以上的话，你记好下面的一个基本的定理：

“若是有了一个无限集合，我们总能够做出一个次数比它高的来。”

要证明这个定理，我们就用整数的集合来做基础，那么，所有可数集也就不用再证明了。

为了说明简单些，我只随意再用一个集合。

照前面说过的，整数的集合是这样：