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十四集合论（第6页）

1、2、3、4、5、…、n、（n+1）……

就用E代表它。

凡是用E当中的元素所做成的集合，无论它所含的元素的数有限或无限，都称它们为E的“子集”

，所以：

17、25、31

2、5、8、11、…、2+3（n-1）……

1、4、9、16、…、n2……

这些都是E的子集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的元素所能够做成的子集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的集合C，C的每一个元素原都是E的一个子集Pn，而且所有E的子集全都包含在里面。

这样一来，C便成了E的一切子集的集合。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。

我们要证明C的次数就比第一个集合E的高。

为了这样，我们还重复说一次比较两个集合的法则，你务必也要将它记好。

我们必须要对于E的每一个元素都能从C的当中取一个出来和它成对。

实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法，因为第二行实在只用到C元素的一部分，这是很容易知道明白的C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能够转过头来，对于C当中的每一个元素都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能够做得到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能够，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做得到，看会碰钉子不会！

算这种配合法是可以有的，我们就随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

P1、P2、P3、…、Pn……（C）

1、2、3、…、n……（E）

单就这两行看，第一行是所有的子集，就是所有C的元素，都来了（因为我们是要这样做的）；第二行我们却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。

因为我们是对了第一行的元素取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下看，先从P1和它的对儿1来起。

因为P1是E的子集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就可以有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。

假如P1里面没有1的，我们将它放在一边。

跟了来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。

照这样子一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成功一个整数的集合。

朋友！

这点你却要注意，一点马虎不得了！

我们检查的时候，有些整数因为它的对儿里面已有了，它所以没有放出来。

由此可以见得我们新做成的整数集合不过包含整数的一部分，所以它也是E的子集。

但是我们前面说过，C的元素是E的子集，而且所有E的子集全部包含在C的里面了，所以这个新的子集也应当是C的一个元素。

用Pt来代表这个新的集合，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的元素都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个元素来和它成对。