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第二章 在学校学不到的实用概率 期望值准则（第10页）

如果有彩票A和彩票B两种彩票，你很容易就能决定究竟该买哪一种。

彩票A：中奖概率为0.2，奖金2万日元；

彩票B：中奖概率为0.2，奖金3万日元。

由于中奖概率相同，那么购买中奖金额大的彩票B就是一个好的选择。

在下述情况下，你选择起来也不会有任何犹豫。

彩票A：中奖概率为0.3，奖金2万日元；

彩票B：中奖概率为0.2，奖金2万日元。

由于奖金相同，你当然是买中奖概率大的彩票A了。

真正会令人感到犹豫不决的是下述情况：

彩票A：中奖概率为0.2，奖金4万日元；

彩票B：中奖概率为0.3，奖金2万日元。

如果想要中更多奖金，你就应该选择彩票A；如果想要提高中奖概率，你就应该选择彩票B。

在这种情况下，你会如何选择呢？

实际上，最自然的选择就是按照“比值”

思考。

与彩票A相比，彩票B的奖金只有一半。

因此，如果想做到真正平衡，彩票B的中奖概率就应该是彩票A的2倍。

但是，彩票B的中奖概率只有彩票A的1.5倍（0.3÷0.2=1.5），可以据此判断购买彩票A是合理的。

为了进一步强化判断标准的普适性，需要对比较的方法进行重新解释。

在上文中对彩票奖金的比值和中奖概率的比值进行了比较，结果是4÷2＞0.3÷0.2，从而推导出了应该购买哪种彩票的结果。

根据不等式计算规则，原不等式可以转化为不等号两端最外侧的数值相乘之积＞两端内侧数值相乘之积。

因此，上述不等式相当于4×0.2＞2×0.3。

这样一来，该不等式的左侧就变成了彩票A的奖金×彩票A的中奖概率，右侧变成了彩票B的奖金×彩票B的中奖概率。

有鉴于此，“彩票奖金×中奖概率”

就等于购买彩票有望获得的收益。

我们将其称为“彩票奖金的期望值”

。

如果按照这种方式进行定义，彩票A的奖金期望值就是4万日元×0.2=0.8万日元，彩票B的奖金期望值就是2万日元×0.3=0.6万日元。

前者的期望值较大。

因此，可以判断购买彩票A是更为合理的选择。

关于期望值的计算，我们还可以从其他视角出发进行合理的解释。

假设一个人连续N次购买彩票A，并且这里的N是个非常大的数字。

如果购买同一彩票的次数足够多，那么实际的中奖比例就会相对稳定，与概率基本相同（这种现象被称为“大数法则”

）。

因此，可以得出实际中奖的次数=N×0.2。

此时，赢得的奖金总额=4万日元×N×0.2。

如果求取奖金总额的平均值，所得的每次平均奖金金额=4万日元×N×0.2÷N=4万日元×0.2。

这与彩票A的奖金期望值完全相同。