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六无限小的量（第1页）

六、无限小的量

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量本来是抽象的，为了容易想象，我们前面说诱导函数的效用和计算法的时候，曾经找出运动的现象来做例。

现在要确切一点地来讲明白数学的函数的意义，我们用的方法虽然和前面用过的相似，但要比它更一般些。

诱导函数的一般的定义是怎样的呢？

从以前所讲过的许多例子中，可以看出来：诱导函数是表示函数的变化的，无论那函数所倚靠的变数小到什么地步，总归可表示出函数在那儿所起的变化。

诱导函数指示给我们看，那函数什么时候渐渐变大和什么时候渐渐变小。

它又指示给我们，这种变化什么时候来得快、什么时候来得慢。

而且它所能指示的，并不是大体的情形，简直连变数的值虽只有无限小的一点变化，函数的变化状态也指示得非常清楚。

因此，研究函数的时候，诱导函数实在占据着很重要的位置。

关于这种巧妙的方法的研究和解释，以及关于它的计算的发明，都是非常有趣的。

它的发明十分奇异，结果又十分丰富，这可算是一种奇迹吧！

然而追根究底，它不过是从数学的符号的运用当中诱导出来的。

不是吗？我们用Δ这样一个符号放在一个量的前面，算它所表示的量是无限小的，它可以逐渐减小下去，而且是可以无限地减小下去的。

我们跟着就研究这种无限小的量的关系，便得出诱导函数这一个奇怪的量。

起源虽很简单，但这些符号也并不是就可以任意诱导出来的。

照我们前面已讲明的看来，它们原是为了研究任何函数无限小的变化的基本运算才产生的。

它逐渐展开的结果，对于一般的数学的解析，却变成了一个精确、恰当的工具。

这也就是数学中，微分学这一部分，又有人叫它是解析数学的原因。

一直到这里，我们已经好几次说到，对于诱导函数这一类东西，要给它一个精确的定义，但始终还是没有做到，这总算一件憾事。

原来要抽象地了解它，本不容易，所以只好慢慢地再说吧。

单是从数学计算的实际上，是不能再找到这些东西的定义了，所以只好请符号来说明。

一开始举例，我们就用字母来代表运动的东西，这已是一种符号的用法。

后来讲到函数，我们又用到下面这种形式的式子：

y=f（x）

这式子自然也只是一个符号。

这符号所表示的意思，虽则前面已经说过，为了明白起见，这里无妨再重述一遍。

x表示一个变数，y表示随了x变的一个函数。